Superficies en 4D

Superficies geométricas en el espacio 4D

© Por: Dr. Carlos Martínez, Domingo 25/09/2016

Una superficie es lugar geométrico propio de un espacio tridimensional, formado por un conjunto de puntos  que satisfacen la siguiente ecuación:

f(x, y, z) = 0,     ec. (1)

El recíproco también debe cumplirse, si una superficie puede representarse analíticamente mediante  una ecuación, ésta debe tener la forma dada por la ecuación (1)^[1]. Si, f es una función de dos variables, digamos x e y; entonces, el lugar geométrico de f es un conjunto de puntos, digamos (x,y, z) de R³, para los cuales (x, y) es un punto del dominio de  f, así;

z = f(x,y),   ec. (2)

El lugar geométrico de f es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional y cuyas coordenadas están determinadas por la terna, digamos  (x, y, z) de R³.^[2]

Ahora, que sucede en R⁴. Veamos lo siguiente, como en un espacio de cuatro dimensiones existen cuatro sub-espacios tridimensionales, una superficie en  R⁴ se puede definir de cuatro maneras diferentes ^[3]. En vista de que una superficie es un lugar geométrico propio tridimensional, una superficie en R⁴ es un lugar geométrico formado por los puntos que satisfacen a una de las siguientes ecuaciones:

f(x, y, z, 0) = 0,     ec. (3)

f(x, y, 0, w) = 0,     ec. (4)

f(x, 0, z, w) = 0,     ec. (5)

f(0, y, z, w) = 0,     ec. (6)

Euclides definió a una superficie de la siguiente manera (Libro I, Los elementos): “Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura”. Desde el punto de vista topoñógico, una superficie es  un conjunto de puntos de un espacio euclidiano que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, visto de cerca, se parece al espacio euclidiano bidimensional. Una superficie es un lugar geométrico propio de R³. A continuación, se muestran ejemplo de superficies en R^4 .

Ejemplo 01: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Respuesta: Las gráficas de la figura 01 corresponden a lugares geométricos (superficies) asociados a la ecuación analítica (7). Observe que, ambas gráficas fueron trazadas en un espacio de R⁴ con w=0. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”, señalado y referenciado en blogs anteriores.

    

Figura 01: Superficies asociadas al ejemplo 01.

 

Figura 02: Superficies asociadas al ejemplo 01.

Ejemplo 02: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Respuesta: Las gráficas de la figura 03 corresponden a lugares geométricos (superficies) asociados a la ecuación analítica (8). Observe que, las gráficas fueron trazadas en un espacio de R⁴ con z = 0. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”.

    

Figura 03: Superficies asociadas al ejemplo 02.

Ejemplo 03: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Respuesta: La figura 03 corresponde al lugar geométrico (superficie) asociado a la ecuación analítica (9). Observe que, la gráfica fue trazada en un espacio de R⁴ con z=0. Esta gráfica fue elaborada con ayuda del software “graficadorE4D”.

Figura 04: Superficie asociada al ejemplo 03.

Ejemplo 04: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Respuesta: La figura 05 corresponde al lugar geométrico (superficie) asociado a la ecuación analítica (10). Observe que, la gráfica fue trazada en un espacio de R⁴ con z=0. Esta gráfica fue elaborada con ayuda del software “graficadorE4D”.

Figura 05: Superficie asociada al ejemplo 04.

Ejemplo 05: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Respuesta: Las gráficas de ls figura 06 corresponden a lugares geométricos (superficies) asociados a la ecuación analítica (11). Observe que, las gráficas fueron trazadas en un espacio de R⁴ con z=0. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”.

     

Figura 06: Superficie asociada al ejemplo 04.

Ejemplo 06: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Para: z = -4, z = 0  y  z = 4.

Respuesta: Las gráficas de la figura 07 corresponden a los lugares geométricos (tipos superficies) asociados a la ecuación analítica (12) para los valores de z dados en el ejemplo. Observe que, las gráficas fueron trazadas en un espacio de R⁴ para: z = -4, z = 0  y  z = 4. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”.

Figura 07: Superficie asociada al ejemplo 06.

Ejemplo 07: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación analítica,

Para: z ={- ½, 0, ½} y  para  z = [- 1/2, 1/2].

Respuesta: Las gráficas de la figura 08 lado izquierdo corresponden a los lugares geométricos (tipos superficies) asociados a la ecuación analítica (13) para los valores de  z ={- ½, 0, ½}. Observe que, las gráficas son superficies de niveles para tres valores de z diferentes en la ecuación (13). Mientras que la gráfica de la derecha se corresponde con un lugar geométrico propio de la cuarta dimensión, o sea un sólido y está formado por infinitas superficies de niveles tridimensionales asociadas a la ecuación (13). Reafirmando lo dicho en blogs anteriores, una figura geométrica en 4D es un sólido.  

       

Figura 08: Lugares geométricos asociados al ejemplo 07.

Es de destacar que todas las gráficas fueron trazadas en un espacio de R⁴. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”.

“La geometría de alta dimensión está presente en el interior de los cuerpos.”

Biblografía

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016  Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720 

Enlace

https://www.amazon.com/Geometr%C3%ADa-E4D-euclidiano-cuatridimensional-bidimensional-ebook/dp/B01C1LRGT8

Autor

Dr. Carlos M. Martínez  M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

Universidad de Carabobo

Escuela de Ingeniería Industrial

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