Astroides en espacios de baja y alta dimensión

Astroides 2D, 3D y 4D en el espacio 4D

© Por: Dr. Carlos M. Martínez M.

email: cmmm7031@gmail.com

Fecha publicación: Domingo 27/11/2016

Fecha última modificación: Domingo 22/03/2026

Introducción

En la Geometría E4D la Astroide no se vizualiza como una simple curva en 2D, sino como la extesión y la evolución de su estructura clásica original hacia una superestructura sólida símétrica de gran belleza en dimensiones superiores. Desde el año 2016, la Geometría E4D (Geometría del Espacio Euclídeo Tetradimensional) ha surgido como una rama fundamental para el estudio de las estructuras geométricas de cuarta dimensión, permitiéndonos explorar formas que desafían nuestra percepción convencional. Aunque estos análisis matemáticos se representan y analizan a menudo mediante proyecciones bidimensionales —de forma análoga a como proyectamos el volumen 3D en un plano—, su esencia reside en una complejidad espacial superior.

El objetivo de este artículo es trazar la evolución de una de las curvas de Lamé más emblemáticas desde su naturaleza plana hacia la hiperdimensión y más allá. En el marco de la Geometría E4D, la Astroide trasciende su definición clásica como una simple curva 2D para revelarse como una superestructura sólida y simétrica. A través de este recorrido, veremos cómo la "estrella" de cuatro puntas que fascinó a geómetras del pasado se transforma en una arquitectura de gran belleza y equilibrio en dimensiones superiores, abriendo la puerta a un universo de estructuras nunca antes vistas.

Astroide 2D

El Astroide 2D es una curva fascinante que pertenece a la familia de las hipocicloides (una circunsferencia que rueda dentro de otra). El nombre proviene del griego "aster" cuyo significado es estrella. Un astroide 2D es el lugar geométrico que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide. Un astroide 2D es una curva con cuatro vértices. Los astroides en 2D con centro en el origen de coordenadas, digamos en un sistema de coordenadas $(x, y)$ tienen por ecuación la siguiente estructura algebraica:

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ (01)$$

La ecuación paramétrica de un astroide, para $a = r$ y con centro en el origen de coordenadas, es:

$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

Un astroide se forma cuando una circunferencia generatriz de radio $r$, rueda sin resbalar dentro de otra circunferencia de radio mayor, digamos $R$, con: $r < R$, (ver gráficas de figuras 01 y 02).

Figura 01. Formación de un Astroide en el espacio 2D.

A continuación, la figura 02 muestra el lugar geométrico asociados al ejemplo 01, (para la figura interactiva se uso la plataforma de Desmos).

Figura 02. Formación de la Astroide en el espacio 2D {Desmos (Astroide 2D)}.

Evolución de la Astoide

A continuación, se resume algunos créditos en la evolución de la Astroide

• Ole Rømer (1674): La chispa de la creación se le atribuye a el astrónomo danés Ole Rømer fue quien la descubrió "en el campo". Su papel: Mientras trabajaba en la mejora de los telescopios y los relojes en el Observatorio de París, Rømer se dio cuenta de que los dientes de los engranajes con forma circular fallaban. El descubrimiento: Fue el primero en proponer el uso de curvas epicicloides e hipocicloides (la familia a la que pertenece el astroide) para que los engranajes transmitieran el movimiento de forma uniforme y minimizar la fricción. Rømer Es quien sacó la geometría del papel y la puso a girar en las máquinas. Sin sus observaciones astronómicas sobre la precisión, quizá el astroide habría tardado décadas más en ser estudiado. 
• Philippe de La Hire (1694): Por descubrir las propiedades de las líneas rectas generadas dentro de estas curvas (las hipocicloides), fundamentales para los diseño de engranajes
• Johann Bernoulli (1691): El primero en estudiar la curva y proponer su naturaleza matemática como una hipocicloide. Johann Bernoulli fue quien bautizó la matemática del Astroide. 
• Gabriel Lamé (1818): Por la creación de las Curvas de Lamé (superelipses). Sus generalizaciones algebraicas son las que permiten que hoy podamos proyectar el astroide a la 3D, 4D y más allá mediante la fórmula $|x/a|^n + |y/b|^n + \dots = 1$.
• Joseph Johann von Littrow (1836): El astrónomo que le dio su nombre definitivo, "Astroide", otorgándole su identidad poética de "estrella". El nombre de Astroide (que significa forma de estrella) fue propuesta po von Litrow en su libro titulado Die Wender des Himmels publicado en 1866.
• En esta época contemporanea (Siglo XXI): El aporte de la Geometría E4D a la Astroide fue un paso de gigante: se pasó de la geometría plana a la hiperdimensión 4D con un aporte no menos importante en las 3D. El astroide dejó de tener 4 cúspides para mostrar sus nuevas caras, ahora en sus extensiones dimensionales se observan con 6 y 8 cúspides. La metodología de la Geometría E4D permitió crear un sistema para ver más allá de la frontera de las 3D, el trazado de la Astroide 4D reveló que las superestructuras de la hiperdimensión pueden estudiados y analizados, como predijo el geómetra suizo Ludwig. Schafli en el siglo XIX. Gracias a la Geometría E4D, ahora sus cuerpos misteriosos  pueden ser revelados.

Astroide 2D en 4D

Un astroide 2D con centro en el origenen el espacio 4D, dígase que disponemos de un sistema de coordenadas $(x, y, z, w)$ como marco de referencia, tendrá como ecuación que la define, una de las siguientes estructuras algebraicas, que se suministran a continuación:

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ z=0 \wedge w=0  \  (03)$$ $$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge w=0  \  (04)$$

$$x^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge z=0  \  (05)$$

$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge w=0  \  (06)$$

$$y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge z=0  \  (07)$$

$$z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge y=0  \  (08)$$

Cada astroide 2D definido con una de las ecuaciones anteriores tendrá como ecuaciones paramétricas uno de los siguientes subconjuntos de ecuaciones (uno a vez y es su equivalente) que se dan a continuación:

• Subespacio  $xy$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:

$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

$$z =0$$

$$w =0$$

• Subespacio  $xz$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:

$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$y =0$$

$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

$$w =0$$

• Subespacio  $xw$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:

$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$y =0$$

$$z =0$$

$$w = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

• Subespacio  $yz$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:

$$x =0$$

$$y = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

$$w =0$$

• Subespacio  $yw$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:

$$x =0$$

$$y = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$z =0$$

$$w = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

• Subespacio  $zw$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:

$$x =0$$

$$y =0$$

$$z = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$w = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$

Ejemplo 01. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas, supóngase que dispone de un sistema de referencia E4D.

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ z=0 \wedge w=0 \ (15)$$ $$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge w=0 \ (16)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge z=0 \ (17)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge w=0 \ (18)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge z=0 \ (19)$$
$$z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge y=0 \ (20)$$

A continuación, la figura 03 muestra los lugares geométricos asociados al ejemplo 01.

Figura 03. Figuras geométricas tipos Astroides 2D en el espacio 4D, asociadas al ejemplo 01.

Astroide 3D en el espacio tridimensional

He aquí una hermosura, presentamos ante Uds la Astroide 3D. La astroide 3D es el lugar geométrico que puede considerarse como un tipo particular de hipocicloide en el espacio 3D. La Astroide 2D es una superficie cerrada con seis vértices. Las astroides en 3D, definididas en un sistema de coordenadas, dígase $(x, y, z)$, tiene como estructura algebraica la siguiente expresión :

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ (21)$$

Las ecuaciones paramétricas de la astroide, para $a = r$, está dada por:

$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)  \ cos^{3}\left( \beta \right)$$

$$y =r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$

$$z =r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

La astroide 3D se forma cuando  una esfera generatriz de radio $r$, rueda sin resbalar dentro de otra circunferencia de radio mayor, digamos $R$, con:  $r < R$. (ver gráficas de figura 04).

Figura  04. Formación de la Astroide en el espacio 3D.

A continuación, la figura 05 muestra el lugar geométrico asociados al ejemplo en 3D, para la figura interactiva se uso la plataforma de Desmos.

Figura  05. Formación de un Astroide en el espacio 3D (Desmos: Astroide 3D).

La figura 06 muestra la traza de la Astroide en el espacio 3D usando sus ecuaciones parametricas con ayuda de la plataforma Desmos.

Figura  06. Formación de la Astroide en el espacio 3D usando sus ecuaciones parametricas

La Astroide 3D en el espacio 4D

La astroide 3D con centro en el origen y trazado en el espacio 4D, dígase en un sistema de coordenadas $(x, y, z, w)$, tiene por ecuación una de las siguientes estructuras algebraicas:

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ w=0 \ (22)$$

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ z=0 \ (23)$$

$$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ y=0 \ (24)$$

$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ x=0 \ (25)$$

Las ecuaciones paramétricas de la astroide 3D en 4D, para $a = r$ tendrá, dependiendo del subespacio 3D donde esté definida, el siguiente conjunto de ecuaciones:

Subespacio $xyz$:

$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)  \ cos^{3}\left( \beta \right)$$

$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$

$$z = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

$$w =0$$

Subespacio $xyw$:

$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)  \ cos^{3}\left( \beta \right)$$

$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$

$$z =0$$

$$w = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

Subespacio $xzw$:

$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)  \ cos^{3}\left( \beta \right)$$

$$y =0$$

$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$

$$w = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

Subespacio $yzw$ en 4D:

$$x =0$$

$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)  \ cos^{3}\left( \beta \right)$$

$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$

$$w = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

Ejemplo 02. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas,

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ w=0 \ (30)$$

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ z=0 \ (31)$$

$$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ y=0 \ (32)$$

$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ x=0 \ (33)$$

A continuación,  la figura 07 muestra algunos lugares geométricos asociados al ejemplo 02.

Figura 07. Figuras geométricas de Astroides 3D en el espacio 4D, asociadas al ejemplo 02.

Astroide 4D

Un astroide 4D es el lugar geométrico propio de la cuarta dimensión que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide en el espacio 4D. Un Astroide 4D es un sólido con ocho vértices. Los astroides en 4D, digamos en un sistema de coordenadas $(x, y, z, w)$ tiene la siguiente estructura algebraica:

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ (34)$$

Las ecuaciones paramétricas que definen a la astroide 4D, con $a = r$ y centro en el origen de coordenadas, se dan a continuación:

$$x =r \ \cos^{3}\left( \theta \right)\ \cos^{3}\left( \beta \right)\cos^{3}\left( \gamma \right)$$

$$y =r \ \cos^{3}\left( \theta \right)\cos^{3}\left( \beta \right)\sin^{3}\left( \gamma \right)$$

$$z =r \ \cos^{3}\left( \theta \right)\sin^{3}\left( \beta \right)$$

$$w =r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$

Un astroide 4D se forma cuando  una tesesfera (hiperesfera 4D) generatriz de radio $r$, rueda sin resbalar dentro de otra hiperesfera 4D de radio mayor, digamos $R$, con: $r < R$.

En construcción

Ejemplo 03. Trace los lugares geométricos asociados a la siguiente ecuación,

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ (35)$$

A continuación,  la figura 08 muestra algunos lugares geométricos asociados al ejemplo 03.

Figura 08. Figuras geométricas tipos Astroides 4D, asociadas al ejemplo 03

Variantes de la  Astroide

La ecuación que define a la astroide 2D en su forma explicita esta dada por:

$$\left(\frac{x-h}{r}\right)^{\frac{2}{3}}+\left( \frac{y-k}{r}\right)^{\frac{2}{3}}=1$$

Donde, $r$ representa el radio y $c=(h,k)$ es el centro de la figura geométrica. El radio es la distancia desde el centro hasta cualquiera de sus cúspides. La astroide es una curva con una trayectoria de 4 puntas en el plano. Para la Geometría E4D la astroide 2D es la base para entender su extensión a dimensiones superiores.

Conclusiones

La importancia de este estudio radica en cómo la Geometría E4D ha logrado unificar el legado práctico de los engranajes de Rømer con la visión hiperdimensional contemporánea. Al desglosar estas estructuras, se evidencia que el astroide es un objeto matemático fundamental que sirve de puente para comprender cómo las formas se pliegan, se extienden y se consolidan al añadir grados de libertad al espacio euclídeo.

En construcción 

Reflexiones y homenajes a predecesores

"Esta exploración dimensional del astroide rinde homenaje a una línea de genialdades que cruzan siglos: desde la intuición mecánica de Ole Rømer al perfeccionar los engranajes del siglo XVII, pasando por la elegancia algebraica de Gabriel Lamé y quien dió su nombre Joseph J. von Littrow, hasta llegar a la síntesis moderna de nuestra Geometría $E^{4D}$, (quienes hemos entregado sus coordenadas exactas para navegar con esta estrella en el vasto océano de la cuarta dimensión)."

Observaciones

Todas las gráficas en el espacio R4 de este blog fueron trazadas con ayuda del software “graficador E4D”.

“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"

Biblografía

1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
3. Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. 

Otras fuentes del escrito

1. Wikipedia, disponible en:  Phillipe de La Hire
2. La Astroide, disponible en: mathworld-wolfram, wikipedia
3. Ludwig Schläfli, disponible en: Mac Tutor

Para consultas y otras cosas de interés común (Simposio, seminarios, congresos, entre otros) favor escribir al siguiente correo:  cmmm7031@gmail.com

Estudio y Trazado del Hiperboloide de una hoja en 4D

Hiperboloide de una Hoja en 4D

©  Por :Dr. Carlos M. Martínez M.

Fecha de publicación: sábado : 22/10/2016

Fecha última modificación : Viernes: 13/03/2026

Figura. Representación de Hiperboloides 4D mediante la Metodología de Trazado E4D

I. Introducción

En este artículo se presentan las variedades tetradimensionales de tipo hiperboloide, desarrolladas bajo la Metodología E4D. El estudio comienza con el trazado de superficies 3D tradicionales mediante secciones transversales circulares, elípticas e hiperbólicas, para luego proyectar estas estructuras en el espacio ℝ⁴. La principal novedad de este trabajo radica en la visualización de superficies 3D dentro del marco tetradimensional, extendiendo el concepto hacia las variedades propias del espacio E4D: los hiperboloides 4D. Aunque estamos familiarizados con el trazado de cuádricas en subespacios del tipo xyz, la geometría analítica tradicional suele omitir los subespacios de tipo xyw, xzw y yzw. Este escrito resuelve la cuestión de la morfología de un hiperboloide de una hoja cuando se integra en la cuarta dimensión. Mediante la metodología de trazado de variedades E4D, trascendemos las limitaciones de la geometría convencional para ofrecer una perspectiva inédita en el análisis del comportamiento de las variedades cuádricas en espacios de mayor dimensión.

En el estudio de la Geometría Analítica Cuatridimensional, el hiperboloide de una hoja representa una de las superficies regladas más fascinantes. Bajo la Metodología E4D, no nos limitamos a la representación tridimensional convencional, sino que extendemos la métrica hacia un cuarto eje ortogonal, el eje $w$. Esta expansión permite visualizar cómo se comporta la curvatura hiperbólica en una hipersuperficie donde la continuidad del objeto desafía nuestra percepción euclidiana tradicional.

II. Ecuación general de las cuádricas en 4D

La ecuación general de las cuádricas en 4D (hipercuádricas), está dada por:

$$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dw^{2}+Exy+Fxz+Gxw+Hyz+Iyw+Jzw+Kx+Ly+Mz+Nw+O=0, \ (01)$$

II.1 Ecuación general de las cuádricas en el subespacio 3D tipo $xyz$ en el espacio 4D 

Ecuación general de las cuádricas 3D tipo $xyz$ en 4D, está dada por:

$$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Exy+Fxz+Hyz+Kx+Ly+Mz+O=0, \ (02)$$

II.2 Ecuación general de las cuádricas en el subespacio 3D tipo $xyw$ en el espacio 4D 

La ecuación general de las cuádricas tipo $xyw$ en 4D, está dada por:

$$Ax^{2}+By^{2}+Dw^{2}+Exy+Fxz+Gxw+Iyw+Kx+Ly+Nw+O=0, \ (03)$$

II.3 Ecuación general de las cuádricas en el subespacio 3D tipo $xzw$ en el espacio 4D 

La ecuación general de las cuádricas tipo $xzw$ en 4D, está dada por:

$$Ax^{2}+Cz^{2}+Dw^{2}+Fxz+Gxw+Jzw+Kx+Mz+Nw+O=0, \ (04)$$

II.4 Ecuación general de las cuádricas en el subespacio 3D tipo $yzw$ en el espacio 4D 

La ecuación general de las cuádricas tipo $xzw$ en 4D, está dada por:

$$By^{2}+Cz^{2}+Dw^{2}+Hyz+Iyw+Jzw+Ly+Mz+Nw+O=0, \ (05)$$

III. Hiperboloides 3D en el espacio 4D

Las superficies de tipo hiperboloide de una hoja 3D en el espacio 4D tienen como ecuación estándar alguna de las siguientes formas:

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}=1, \ \ con:  \ z=0\ (06)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}-\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}=1, \ \ con:  \ w=0\ (07)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}=1, \ \ con:  \ w=0\ (08)$$

$$\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}=1, \ \ con:  \ x=0\ (09)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(w-l  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}=1, \ \ con:  \ y=0\ (10)$$

$$\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}=1, \ \ con:  \ x=0\ (11)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}-\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}=1, \ \ con:  \ y=0\ (12)$$

$$\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}=1, \ \ con:  \ x=0\ (13)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}=1, \ \ con:  \ z=0\ (14)$$

$$\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}=1, \ \ con:  \ z=0\ (15)$$

$$\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}+\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}=1, \ \ con:  \ y=0\ (16)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}-\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}=1, \ \ con:  \ w=0\ (17)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(w-m  \right)^{2}}{d^{2}}-\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{c^{2}}=1, \ \ con:  \ z=0\ (18)$$

$$\frac{\left(x-h  \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k  \right)^{2}}{b^{2}}-\frac{\left(z-l  \right)^{2}}{c^{2}}=1, \ \ con:  \ w=0\ (19)$$

Un hiperboloide 3D en 4D se define mediante una de estas ecuaciones, de modo que el lado izquierdo iguala a uno (o a una constante positiva/negativa según el caso). Cualquier combinación de valores reales para los parámetros permite generar estas superficies en los diferentes subespacios.

IV Variedad 4D

Una variedad o figura geométrica 4D se define como:

$$M = \{ (x, y, z, w) \in \mathbb{R}^4 : f(x, y, z, w) = 0 \} (20)$$

## Visualización y Aplicaciones de la Metodología E4D

La visialización de estas figuras requieren algoritmos de proyección que mapeen puntos de cuatro coordenadas $P(x, y, z, w)$ a una representación bidimensional coherente. El valor de este trabajo reside en la capacidad de dotar de una forma tangible a conceptos que suelen ser puramente algebraicos.

## Metodología de Trazado

El proceso se utiliza algoritmos una proyección que mapean los puntos $P(x,y,z,w)$ hacia un plano bidimensional, que preserva la coherencia geométrica de la variedad 4D. Este avance es crucial para la Geometría Analítica E4D, ya que permite el estudio visual de objetos que antes eran puramente teóricos o algebraicos.

Este tipo de visualizaciones tiene aplicaciones potenciales en:

1. Física Teórica: Modelado de estructuras espacio-temporales.
2. Arquitectura Avanzada: Diseño de estructuras autoportantes basadas en superficies regladas complejas.
3. Topología Aplicada: Estudio de variedades que no pueden colapsar en tres dimensiones sin perder sus propiedades métricas.

## Superficies de niveles 3D y 4D

Las funciones con tres variables son figuras geométricas propias de la tercera dimensión (espacio 3D). las ecuaciones analíticas en el espacio 3D de estas figuras geométricas tienen la siguiente estructura:

$$f(x, y, z) =k, \ (21)$$

Si, f es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos de $\mathbb{R}^3$, la gráfica de f es una superficie de nivel para cada valor de k . Cada superficie de nivel en un espacio 3D es una figura geométrica subconjunto de una estructura más compleja que es una estructura propia del espacio 4D o lo que nosotros conocemos como un sólido. Para representar las estructuras 3D en un espacio de referencia de cuatro dimensiones es necesario utilizar una de las siguientes ecuaciones:

$$f(x, y, z, 0) = k,\  (22)$$

$$f(x, y, 0, w) = k,\ (23)$$

$$ f(x, 0, z, w) = k,\ (24)$$

$$ f(0,x, ​​​​​y, z) = k, \ (25)$$

En un espacio de cuatro dimensiones hay cuatro subespacios de tres dimensiones y seis subespacios de dos dimensiones. Observe que, para cada valor de k, en cada una de las ecuaciones 22, 23, 24 y 25 es posible construir en 3D las llamadas superficies de niveles. El conjunto de todas las superficies de niveles forman una estructura geométrica mucho más compleja que la superficie simple 3D, la unión de todas da una idea de una variedad propia de la cuarta dimensión: el sólido.

## Hiperboloide 4D

Un hiperboloide 4D es una figura propia geométrica del espacio E4D, formada por infinitas superficies tipo hiperboloides 3D de los diferentes subespacios 3D de la 4D. Para cuatro dimensiones, voy a mostrar una de las ecuaciones analíticas de un tipo de hiperboloide 4D de una hoja que a su vez son cuádricas que pertenecen; en general, a las variedades geométricas 4D. Esta variedad tiene como ecuación canónica la siguiente expresión:

$$\frac{\left(x-h \right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-k \right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left(z-l \right)^{2}}{c^{2}}-\frac{\left(w-m \right)^{2}}{d^{2}}=1, \ (26)$$

Al igual que los hiperboloides 3D en 4D, las diversas combinaciones y signaturas en la ecuación, produce varios tipos de cuádricas una de ellas es el hiperboloide 4D. Una de las más características con eje de simetría en el eje $w$, tiene por ecuación:

$$w^{2} = a x ^{2} + by ^{2} + cz^{2} + j, \ (27)$$

La ecuación (27) es una de las ecuacion que describe a un hiperboloide en el espacio 4D. Dependiendo del valor que tome la constante j, el sólido formado se puede clasificar como un hiperboloide 4D de una hoja, dos hojas o tipo cono. Si, j es negativo el sólido formado es un hiperboloide 4D de una hoja (con a, b y c positivos); si j es positivo, con a, b y c positivos, el sólido es un hiperboloide 4D de dos hojas y si j es cero la superficie es un cono 4D. Los valores de a, b y c definen otra característica del sólido. Si las constantes a, b y c son iguales y positivas el hiperboloide es esférico; por lo tanto, las secciones transversales de las superficies de niveles que conforman al hiperboloide 4D son circunferencias. Ahora, si uno de los tres valores de a, b y c difiere de los otros dos el hiperboloide 4D es elipsoidal; por lo tanto, las secciones transversales de las superficies de niveles que lo conforman son elipses. En este artículo, mostraremos el hiperboloide 4D de ambos tipos: el esférico y el elipsoidal. Una gran gama de variedades 4D son mostradas y pueden ser consultados en el libro “Geometría E4D”, texto referenciado en líneas finales de este documento.

A diferencia de las representaciones clásicas en $\mathbb{R}^3$, esta variedad se proyecta en un entorno donde la cuarta coordenada, $w$, redefine como especie de un pegamento y conectividad entre las superficies de niveles de los cuatro subespacios 3D. Para lograr esta representación, se parte de la extensión de la ecuación cuádricas general 4D. Un ejemplo:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - \frac{w^2}{d^2} = 1, \  (28)$$

En este modelo, el término $\frac{w^2}{d^2}$ introduce una métrica de hiper profundidad que permite visualizar la figura como un sólido, como una hipersuperficie dinámica, pero que es estática, formada superficies de niveles que se producen de los cuatro subespacios tridimensionales. Los subespacios ortogonales (dígase: $xyz$, $xyw$, $xzw$ y  $yzw$) revelan una especie de trayectorias que en la geometría euclidiana tridimensional quedarían "ocultas" o casi imposibles de ver.

V. Ejemplos

A continuación en esta sección vamos a mostrar ejemplos ilustrativos de la variedad 4D bajo estudio. 

Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

$$w^{2} = 8 x^{2} + 8 y^{2} - 16, \ con \ z = 0, \ (29)$$

A continuación, la figura 01 muestra lugares geométricos asociados a la ecuación 29.

 Figura 01 . Hiperboloide 3D de una hoja en el espacio 4D asociado al Ejemplo 01.

Ejemplo 02 . Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica .

$$z^{2} = 8 x^{2} + 8 y^{2} - 16, \ con \ w = 0, \ (30)$$

A continuación la figura 02 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 30.

Figura 02 . Hiperboloide 3D de una hoja en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 02.

Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

$$w^{2} = 8 x^{2} + 8 y^{2} - 16, \ con \ z = 0, \ (31)$$

A continuación la figura 03 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 31.

Figura 03 . Hiperboloide 3D de una hoja en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 03.

Ejemplo 04. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica .

$$w^{2} = 8 x ^{2} + 8y ^{2} + 8z^{2} -16, \ (32)$$

A continuación la figura 04 muestra los lugares geométricos asociados a la ecuación 32 que se corresponden con un hiperboloide 4D esférico de una hoja.

Figura 04 . Hiperboloide 4D esférico de una hoja , asociado al Ejemplo 04.

Ejemplo 05. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica .

$$w ^{2} = 16\left( \frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{2} +\frac{z^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right), \ (33)$$

A continuación la figura 05 muestra los lugares geométricos asociados a la ecuación 33 que se corresponden con un hiperboloide 4D elipsoidal de una hoja .

Figura 05 . Hiperboloide 4D de una hoja con superficies de niveles transversales elipsoidales 3D y secciones transversales elípticas 2D, asociado al Ejemplo 05.

Para concluir, se presenta una de las piezas fundamentales de la Geometría E4D, obtenida mediante el programa Graficador E4D: el hiperboloide tetradimensional con superficies de nivel transversales elipsoidales, compuestas a su vez por secciones elípticas. Esta representación ilustra la vasta multiplicidad de variedades que pueden modelarse mediante esta metodología. Se abre así una puerta hacia lo inexplorado, ofreciendo una rica gama de estructuras tetradimensionales que permiten profundizar en la comprensión del universo en el que estamos inmersos, véase figura 06.

Figua 06.  hiperboloide tetradimensional con superficies de niveles transversales elipsoidales

Conclusiones

El hiperboloide de una hoja en 4D, tal como se ha explorado en este artículo mediante la Metodología E4D, representa mucho más que una simple extensión algebraica de su contraparte tridimensional: constituye una hipersuperficie única y conectada que integra infinitos hiperboloides 3D a través de los cuatro subespacios ortogonales posibles ($xyz$, $xyw$, $xzw$, $yzw$). Esta continuidad intrínseca (donde cada "hoja" 3D se entrelaza con las demás mediante el eje $w$ como puente hiperdimensional) revela una geometría rica y contra-intuitiva que trasciende las limitaciones de nuestra percepción euclidiana cotidiana. Las proyecciones y trazados presentados (Figuras 01 a 05), generados con el graficadorE4D, demuestran que es posible capturar visualmente aspectos esenciales de estas variedades 4D: desde las secciones circulares y las superficies de niveles esféricas hasta las elipsoidales, pasando por las permutaciones regladas que mantienen la propiedad de una sola hoja conectada. Aunque, la representación bidimensional inevitablemente pierde información, estos trazados ofrecen una herramienta valiosa para intuir la topología y la dinámica de las cuádricas en dimensiones superiores.

Este trabajo invita a reflexionar sobre los límites de la visualización geométrica tradicional y abre la puerta a futuras exploraciones en el marco E4D: variedades regladas más complejas, intersecciones hiperdimensionales, aplicaciones en modelado físico o incluso en teorías modernas del espacio-tiempo. La geometría 4D no es solo un ejercicio donde lo abstracto se vuelve visible; es un territorio donde la intuición humana puede expandirse con las herramientas adecuadas. Agradezco al lector su interés en esta perspectiva no convencional. Si estas ideas resuenan contigo, te invito a seguir explorando el blog y a compartir tus comentarios o sugerencias. Próximamente continuaremos con el trazado de otras variedades E4D.

Dr. Carlos M. Martínez M.

Geometría E4D – Explorando el espacio tetradimensional

Observaciones

• Todas las gráficas de este escrito fueron trazadas en el espacio de $\mathbb{R}^4$ con ayuda del software “graficadorE4D”.
• En relación a los escritos de Geometría E4D (debido a las novedades del descubrimiento en la traza de variedades 4D y la exploración reciente de lo desconocido) se decidió que a partir de enero de 2026, todos los escritos serán sometidos a un proceso de revisión, actualización y mejora continúa.
• Para profundizar en los fundamentos de estas estructuras, te invito a revisar mi estudio sobre la Construcción de Variedades Tetradimensionales.

Bibliografía

[1] Lehmann, CH, & Sors, ​​MS (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano- Americana.
[2] Leithold, L., (1998). El calculo. Prensa de la Universidad de Oxford.
[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.
DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

"Si te interesó este trazado, puedes ver cómo aplicamos estos principios en el Trazado de Líneas Rectas 4D".

Autor

Dr. Carlos M. Martínez M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

Universidad de Carabobo

Escuela de Ingeniería Industrial

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“Actualizado: 13/03/2026 – Versión mejorada para mayor claridad visual”.

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