Parte I
© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Viernes 30/01/2026
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Objetivo
El objetivo general del tratado consiste en mostrar puntos que caracterizan la traza de rectas del espacio E4D y en sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D.
1. Introducción
En este artículo se muestran puntos característicos que definen la traza de rectas E4D y de sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D, tales como: puntos de intersección entre rectas, puntos de trazas, puntos comunes con los ejes coordenados y puntos de intersección con los planos coordenados. Para su construcción, me apoyaré de tratados de teorías y analíticas sobre la traza de rectas en espacios bidimensionales y tridimensionales, para luego extrapolar los conceptos y extenderlos a espacios superiores. Para reforzar el procedimiento, utilizaré herramientas computacionales gráficas para realizar el análisis. Utilizaré como apoyo programas, tales como: "Graficador E4D" y "Desmos". Desmos dispone de una versión gratuita y está disponible en la web con sus limitantes. Pero su versión gratuita es útil para la traza de variedades geométricas en baja dimensión (2D y 3D). En la parte I del escrito se trata el tema del trazado de rectas en el espacio E3D, luego (en la parte II) extrapolaremos los conceptos y nos ocuparemos del trazado de rectas en el espacio E4D, sus proyecciones y la identificación y trazado de puntos característicos.
2. Traza de puntos característicos en rectas del espacio E3D y en sus proyecciones sobre los planos coordenados E2D
A continuación, vamos a desarrollar un ejemplo donde se muestran puntos característicos en la traza de rectas E3D y en la traza de sus proyecciones ortogonales sobre planos coordenados (2D). Luego, mediante un ejemplo, extrapolaremos estos conceptos al espacio de nuestro interés: la cuarta dimensión.
Ejemplo 01. Trace la recta que pasa por el punto P=(10, 15, 15) y cuyas componentes del vector director, son:
$$\vec{v}= \left\{\cos(\frac{\pi}{3}), 2, 1\right\}$$
Solución: A continuación, en la tabla N.° 1, se muestran los cálculos de las coordenadas: $x$, $y$ y $z$ dado el valor $t$. Las ecuaciones paramétricas se obtienen a partir de los datos suministrados y la definición y parametrización de rectas en $\mathbb{R}^{3}$:
$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=15+2*t$$
$$z=15+t$$
El calculo de las coordenadas de cada punto que petenece al lugar geométrico asociado a las ecuaciones se pueden visualizar en la tabla N.° 1. Los valores de $t$ son arbitrarios, se decidió escoger una escala de "t" desde -50 a 50 con una interescala de 5 en 5, un capricho.
Tabla N.° 1. Calculo de las coordenadas: $x$, $y$ y $z$, dado el valor $t$
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | |||
| Valor de t | x | y | z |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | |||
| -50 | -15 | -85 | -35 |
| -45 | -12.5 | -75 | -30 |
| -40 | -10 | -65 | -25 |
| -35 | -7.5 | -55 | -20 |
| -30 | -5 | -45 | -15 |
| -25 | 2.5 | -35 | -10 |
| -20 | 5 | -25 | 5 |
| -15 | 2.5 | -15 | 0 |
| -10 | 5 | -5 | 5 |
| -5 | 7.5 | 5 | 10 |
| 0 | 10 | 15 | 15 |
| 5 | 12.5 | 25 | 20 |
| 10 | 15 | 35 | 25 |
| 15 | 17.5 | 45 | 30 |
| 20 | 20 | 55 | 35 |
| 25 | 22.5 | 65 | 40 |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | |||
Ahora, trazamos los puntos y la recta en el sistema de coordenadas cartesianas E3D, véase figura N.° 1. Se observan puntos colineales en el espacio E3D que indican la dirección que toma la recta $l_{xyz}$ (variedad E3D trazada en color verde manzana).
Si se sustituye el valor de $t=0$ en las ecuaciones dadas, se tiene que $x=10$, $y=15$ y $z=15$, lo que significa que la recta $l_{xyz}$ pasa por el punto $P_{1}=(10, 15, 15)$. Todos los puntos calculados definen la dirección que toma la recta en el espacio E3D. Ahora, nos interesa proyectar ortogonalmente a la recta E3D sobre los planos cartesianos, dígase: $XY$, $XZ$ y $YZ$.
- Subespacio: $XY$
$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$0=15+2*t$$
$$z=15+t$$
De la segunda ecuación tenemos que,
$t=-\frac{15}{2}$
Conocido, $t = -7.50$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado, véase figura N°2:
$$x=6.25$$
$$y=0$$
$$z=7.50$$
Figura N.° 2. Traza del punto de intersección de la recta E3D con el plano $XZ$
La figura N.° 3 muestra el punto $P_{2}=(6.25, 0, 7.5)$ (marcado en color azul marino) que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$, este es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Si se proyecta ortogonalmente el punto $P_{2}$ sobre el plano $XY$ se obtiene el segundo punto que necesitamos para trazar la recta proyectada sobre el plano $XY$. El segundo punto que buscamos es $P_{b}=(6.25,0,0)$, de modo que la recta proyectada en el plano queda definida como:
$$x=10+t*(10-6.25)$$
$$y=15+t*(15-0)$$
$$z=0+t*(0-0)$$
De esta manera la recta $l_{xy}$ queda definida, como:
$$x=10+3.75*t$$
$$y=15+15*t$$
$$z=0$$
Figura N.° 3. Traza de puntos característicos en la recta $l_{xyz}$ y en la recta $l_{xy}$
- Subespacio: $XZ$
Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{1}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $XZ$, se obtiene el punto $P_{c}=(10, 0, 15)$, Este punto está ubicado en el plano $XZ$, y corresponde a uno de los puntos por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $XZ$. Analíticamente, basta con hacer $y=0$. Por ello, $P_{a}=(10, 0, 15)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $XZ$ se necesita otro punto que pertenezca a la recta en proyección, punto que ya conocemos; este es el punto $P_{2}$. La figura N.° 4 muestra el punto $P_{2}=(6.25, 0, 7.5)$ (marcado en color azul marino), que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$. Como ya conocemos dos puntos de la recta en proyección sobre el plano $XZ$, entonces, por la definición en la parametrización de rectas en E3D, se tiene que:
$$x=10+t*(10-6.25)$$
$$y=0$$
$$z=15+t*(15-7.50)$$
De esta manera la recta $l_{xy}$ queda definida, como:
$$x=10+3.75*t$$
$$y=0$$
$$z=15+7.50*t$$
La figura N.° 4 muestra la traza de la recta $l_{xyz}$ (línea verde manzana) y la traza de recta en proyección sobre el plano $XZ$ (línea morada). Una aclaratoria: Se debe mencionar que la recta en proyección $l_{xz}$ (recta en color morado) pertenece al plano $XZ$. Sin embargo, la figura N.° 4 puede dar lugar a una mala interpretación, porque pareciera que la recta $l_{xz}$ pasa por el punto $P_{a}=(10, 15, 0)$ y no es así; es un problema de perspectiva que da lugar a un falso parecer.
Figura N.° 4. Traza de puntos característicos en la recta $l_{xyz}$ y en la recta $l_{xz}$
- Subespacio: $YZ$
El procedimiento es similar a los dos casos anteriores. Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{1}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $YZ$, se obtiene el punto $P_{c}=(0, 15, 15)$, Este punto está ubicado en el plano $YZ$, y corresponde a uno de los puntos por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $YZ$. Analíticamente, basta con hacer $x=0$. Por ello, $P_{a}=(0, 15, 15)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $YZ$ se necesita otro punto que pertenezca a la recta en proyección. La forma de hacerlo, es conseguir otro punto característico de la recta E3D y proyectarlo sobre el plano de interés; por ejemplo, el punto de intersección de la recta con el plano $YZ$, este punto es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Para calcularlo, hacemos: $x=0$. Con, $x=0$ y con las ecuaciones de la recta E3D, se obtiene que:
$$0=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=15+2*t$$
$$z=15+t$$
De la primera ecuación, tenemos que,
$t=-\frac{10}{cos(\frac{\pi}{3})}$
Conocido, $t = -20.00$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado. Véase figura N°5:
$$x=0$$
$$y=-25$$
$$z=-5$$
La figura N.° 5 muestra el punto $P_{4}=(0, -25, -5)$ (marcado en color azul celeste), que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$. Y como ya se conocen los dos puntos de la recta en proyección sobre el plano $XZ$, entonces, por la definición en la parametrización de rectas en E3D, se tiene que:
$$x=0$$
$$y=15+t*(15+25)$$
$$z=15+t*(15+5)$$
De esta manera la recta $l_{xy}$ queda definida, como:
$$x=0$$
$$y=15+40*t$$
$$z=15+20*t$$
La figura N.° 5 muestra la traza de la recta $l_{xyz}$ (línea verde manzana) y la traza de recta en proyección sobre el plano $XZ$ (línea roja). Observe que la recta en proyección sobre el plano $YZ$ pasa por los puntos: $P=(0, 15, 15)$ y $P_{4}=(0, -25, -5)$. El punto $P_{4}$ es un punto característico de interés en la traza de la proyección, ya que es el punto de intersección de ambas rectas.
Figura N.° 5. Traza de puntos característicos en la recta $l_{xyz}$ y en la recta $l_{yz}$
A continuación, se muestra la figura N.° 6, a la cual le añadimos un link activo que nos conduce a una página del programa "Desmos" diseñada por este humilde servidor. La página muestra la traza de la recta en E3D, sus proyecciones sobre los planos coordenados y puntos característicos de interés en la traza de estas figuras geométricas. En esta figura podemos visualizar el falso parecer mencionado en la traza de la recta en proyección en el plano $XZ$. La recta $l_{xz}$ (trazada en color morado) no pasa por el punto $P=(10,15,0)$.
Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E3D, consulte: Rectas en 3D.
Observaciones Todas las gráficas de la parte I de este tratado fueron elaboradas en el espacio de $R^{3}$. Nos apoyamos usando el software “graficadorE4D” y el programa "Desmos". Nuestro objetivo (en esta parte del estudio), se centró en: mostrar la traza de puntos característicos en la traza de rectas del espacio E3D y de sus proyecciones en los subespacios E2D.
Fecha última revisión: 03/02/2026
Biblografía
1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
3. Martínez C. (2016). "Geometría E4D: Geometría del espacio euclidiano cuatridimensional vista desde la óptica bidimensional", 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8
