Astroides 2D, 3D y 4D en el
espacio 4D
© Por: Dr. Carlos M. Martínez M.
email: cmmm7031@gmail.com
Fecha publicación: Domingo 27/11/2016
Fecha última modificación: Domingo 22/03/2026
Introducción
En la Geometría E4D la Astroide no se vizualiza como una simple curva en 2D, sino como la extesión y la evolución de su estructura clásica original hacia una superestructura sólida símétrica de gran belleza en dimensiones superiores. Desde el año 2016, la Geometría E4D (Geometría del Espacio Euclídeo Tetradimensional) ha surgido como una rama fundamental para el estudio de las estructuras geométricas de cuarta dimensión, permitiéndonos explorar formas que desafían nuestra percepción convencional. Aunque estos análisis matemáticos se representan y analizan a menudo mediante proyecciones bidimensionales —de forma análoga a como proyectamos el volumen 3D en un plano—, su esencia reside en una complejidad espacial superior.
El objetivo de este artículo es trazar la evolución de una de las curvas de Lamé más emblemáticas desde su naturaleza plana hacia la hiperdimensión y más allá. En el marco de la Geometría E4D, la Astroide trasciende su definición clásica como una simple curva 2D para revelarse como una superestructura sólida y simétrica. A través de este recorrido, veremos cómo la "estrella" de cuatro puntas que fascinó a geómetras del pasado se transforma en una arquitectura de gran belleza y equilibrio en dimensiones superiores, abriendo la puerta a un universo de estructuras nunca antes vistas.
Astroide 2D
El Astroide 2D es una curva fascinante que pertenece a la familia de las hipocicloides (una circunsferencia que rueda dentro de otra). El nombre proviene del griego "aster" cuyo significado es estrella. Un astroide 2D es el lugar geométrico que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide. Un astroide 2D es una curva con cuatro vértices. Los astroides en 2D con centro en el origen de coordenadas, digamos en un sistema de coordenadas $(x, y)$ tienen por ecuación la siguiente estructura algebraica:
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ (01)$$
La ecuación paramétrica de un astroide, para $a = r$ y con centro en el origen de coordenadas, es:$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
Figura 01. Formación de un Astroide en el espacio 2D.
Figura 02. Formación de la Astroide en el espacio 2D {Desmos (Astroide 2D)}.
Evolución de la Astoide
- Ole Rømer (1674): La chispa de la creación se le atribuye a el astrónomo danés Ole Rømer fue quien la descubrió "en el campo". Su papel: Mientras trabajaba en la mejora de los telescopios y los relojes en el Observatorio de París, Rømer se dio cuenta de que los dientes de los engranajes con forma circular fallaban. El descubrimiento: Fue el primero en proponer el uso de curvas epicicloides e hipocicloides (la familia a la que pertenece el astroide) para que los engranajes transmitieran el movimiento de forma uniforme y minimizar la fricción. Rømer Es quien sacó la geometría del papel y la puso a girar en las máquinas. Sin sus observaciones astronómicas sobre la precisión, quizá el astroide habría tardado décadas más en ser estudiado.
- Philippe de La Hire (1694): Por descubrir las propiedades de las líneas rectas generadas dentro de estas curvas (las hipocicloides), fundamentales para los diseño de engranajes
- Johann Bernoulli (1691): El primero en estudiar la curva y proponer su naturaleza matemática como una hipocicloide. Johann Bernoulli fue quien bautizó la matemática del Astroide.
- Gabriel Lamé (1818): Por la creación de las Curvas de Lamé (superelipses). Sus generalizaciones algebraicas son las que permiten que hoy podamos proyectar el astroide a la 3D, 4D y más allá mediante la fórmula $|x/a|^n + |y/b|^n + \dots = 1$.
- Joseph Johann von Littrow (1836): El astrónomo que le dio su nombre definitivo, "Astroide", otorgándole su identidad poética de "estrella". El nombre de Astroide (que significa forma de estrella) fue propuesta po von Litrow en su libro titulado Die Wender des Himmels publicado en 1866.
- En esta época contemporanea (Siglo XXI): El aporte de la Geometría E4D a la Astroide fue un paso de gigante: se pasó de la geometría plana a la hiperdimensión 4D con un aporte no menos importante en las 3D. El astroide dejó de tener 4 cúspides para mostrar sus nuevas caras, ahora en sus extensiones dimensionales se observan con 6 y 8 cúspides. La metodología de la Geometría E4D permitió crear un sistema para ver más allá de la frontera de las 3D, el trazado de la Astroide 4D reveló que las superestructuras de la hiperdimensión pueden estudiados y analizados, como predijo el geómetra suizo Ludwig. Schafli en el siglo XIX. Gracias a la Geometría E4D, ahora sus cuerpos misteriosos pueden ser revelados.
Astroide 2D en 4D
Un astroide 2D con centro en el origenen el espacio 4D, dígase que disponemos de un sistema de coordenadas $(x, y, z, w)$ como marco de referencia, tendrá como ecuación que la define, una de las siguientes estructuras algebraicas, que se suministran a continuación:
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ z=0 \wedge w=0 \ (03)$$ $$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge w=0 \ (04)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge z=0 \ (05)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge w=0 \ (06)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge z=0 \ (07)$$
$$z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge y=0 \ (08)$$
Cada astroide 2D definido con una de las ecuaciones anteriores tendrá como ecuaciones paramétricas uno de los siguientes subconjuntos de ecuaciones (uno a vez y es su equivalente) que se dan a continuación:
- Subespacio $xy$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:
$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
$$z =0$$
$$w =0$$
- Subespacio $xz$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:
$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$y =0$$
$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
$$w =0$$
- Subespacio $xw$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:
$$x = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$y =0$$
$$z =0$$
$$w = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
- Subespacio $yz$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:
$$x =0$$
$$y = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
$$w =0$$
- Subespacio $yw$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:
$$x =0$$
$$y = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$z =0$$
$$w = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
- Subespacio $zw$ del espacio 4D, ecuaciones parametricas de la astroide:
$$x =0$$
$$y =0$$
$$z = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$w = r \ \cos^{3}\left( \theta \right)$$
Ejemplo 01. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas, supóngase que dispone de un sistema de referencia E4D.
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ z=0 \wedge w=0 \ (15)$$ $$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge w=0 \ (16)$$$$x^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ y=0 \wedge z=0 \ (17)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge w=0 \ (18)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge z=0 \ (19)$$
$$z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con \ x=0 \wedge y=0 \ (20)$$
A continuación, la figura 03 muestra los lugares geométricos asociados al ejemplo 01.
Figura 05. Formación de un Astroide en el espacio 3D (Desmos: Astroide 3D).
Ejemplo 02. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas,
Figura 03. Figuras geométricas tipos Astroides 2D en el espacio 4D, asociadas al ejemplo 01.
Astroide 3D en el espacio tridimensional
He aquí una hermosura, presentamos ante Uds la Astroide 3D. La astroide 3D es
el lugar geométrico que puede considerarse como un tipo particular de
hipocicloide en el espacio 3D. La Astroide 2D es una superficie cerrada con seis
vértices. Las astroides en 3D, definididas en un sistema de coordenadas, dígase $(x, y, z)$, tiene como estructura
algebraica la siguiente expresión :
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ (21)$$
Las
ecuaciones paramétricas de la astroide, para $a = r$, está dada por:
$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ cos^{3}\left( \beta \right)$$
$$y =r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$
$$z =r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
La astroide 3D se forma
cuando una esfera generatriz de radio $r$, rueda sin resbalar dentro de otra circunferencia de
radio mayor, digamos $R$, con: $r < R$.
(ver gráficas de figura 04).
Figura 04. Formación de la Astroide en el espacio 3D.
A continuación, la figura 05 muestra el lugar geométrico asociados al ejemplo en 3D, para la figura interactiva se uso la plataforma de Desmos.
Figura 05. Formación de un Astroide en el espacio 3D (Desmos: Astroide 3D).
La figura 06 muestra la traza de la Astroide en el espacio 3D usando sus ecuaciones parametricas con ayuda de la plataforma Desmos.
La Astroide 3D en el espacio 4D
La astroide 3D con centro en el origen y trazado en el espacio
4D, dígase en un sistema de coordenadas $(x, y, z, w)$, tiene por ecuación una de las siguientes estructuras algebraicas:
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ w=0 \ (22)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ z=0 \ (23)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ y=0 \ (24)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ con\ x=0 \ (25)$$
Las ecuaciones paramétricas de la astroide 3D en 4D, para $a = r$ tendrá, dependiendo del subespacio 3D donde esté definida, el siguiente conjunto de ecuaciones:
Subespacio $xyz$:
$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ cos^{3}\left( \beta \right)$$
$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$
$$z = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$w =0$$
Subespacio $xyw$:
$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ cos^{3}\left( \beta \right)$$
$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$
$$z =0$$
$$w = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
Subespacio $xzw$:
$$x = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ cos^{3}\left( \beta \right)$$
$$y =0$$
$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$
$$w = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
Subespacio $yzw$ en 4D:
$$x =0$$
$$y = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ cos^{3}\left( \beta \right)$$
$$z = r \ \cos^{3}\left( \theta \right) \ sin^{3}\left( \beta \right)$$
$$w = r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ w=0 \ (30)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ z=0 \ (31)$$
$$x^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ y=0 \ (32)$$
$$y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ con\ x=0 \ (33)$$
A
continuación, la figura 07 muestra algunos
lugares geométricos asociados al ejemplo 02.
Figura 07. Figuras geométricas de Astroides 3D en el espacio 4D, asociadas al ejemplo 02.
Un astroide 4D es el lugar geométrico propio de la cuarta dimensión que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide en el espacio 4D. Un Astroide 4D es un sólido con ocho vértices. Los astroides en 4D, digamos en un sistema de coordenadas $(x, y, z, w)$ tiene la siguiente estructura algebraica:
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\ (34)$$
Las
ecuaciones paramétricas que definen a la astroide 4D, con $a = r$ y centro en el origen de coordenadas, se dan a continuación:
$$x =r \ \cos^{3}\left( \theta \right)\ \cos^{3}\left( \beta \right)\cos^{3}\left( \gamma \right)$$
$$y =r \ \cos^{3}\left( \theta \right)\cos^{3}\left( \beta \right)\sin^{3}\left( \gamma \right)$$
$$z =r \ \cos^{3}\left( \theta \right)\sin^{3}\left( \beta \right)$$
$$w =r \ \sin^{3}\left( \theta \right)$$
Un astroide 4D se forma
cuando una tesesfera (hiperesfera 4D) generatriz
de radio $r$, rueda sin resbalar dentro
de otra hiperesfera 4D de radio mayor, digamos $R$, con: $r < R$.
En construcción
Ejemplo 03. Trace los lugares geométricos asociados a la siguiente ecuación,
$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}+w^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}},\ (35)$$
A
continuación, la figura 08 muestra algunos
lugares geométricos asociados al ejemplo 03.
Figura 08. Figuras geométricas tipos Astroides 4D,
asociadas al ejemplo 03
Variantes de la Astroide
La ecuación que define a la astroide 2D en su forma explicita esta dada por:
$$\left(\frac{x-h}{r}\right)^{\frac{2}{3}}+\left( \frac{y-k}{r}\right)^{\frac{2}{3}}=1$$
Donde, $r$ representa el radio y $c=(h,k)$ es el centro de la figura geométrica. El radio es la distancia desde el centro hasta cualquiera de sus cúspides. La astroide es una curva con una trayectoria de 4 puntas en el plano. Para la Geometría E4D la astroide 2D es la base para entender su extensión a dimensiones superiores.
Conclusiones
La importancia de este estudio radica en cómo la Geometría E4D ha logrado unificar el legado práctico de los engranajes de Rømer con la visión hiperdimensional contemporánea. Al desglosar estas estructuras, se evidencia que el astroide es un objeto matemático fundamental que sirve de puente para comprender cómo las formas se pliegan, se extienden y se consolidan al añadir grados de libertad al espacio euclídeo.
En construcción
Reflexiones y homenajes a predecesores
"Esta exploración dimensional del astroide rinde homenaje a una línea de genialdades que cruzan siglos: desde la intuición mecánica de Ole Rømer al perfeccionar los engranajes del siglo XVII, pasando por la elegancia algebraica de Gabriel Lamé y quien dió su nombre Joseph J. von Littrow, hasta llegar a la síntesis moderna de nuestra Geometría $E^{4D}$, (quienes hemos entregado sus coordenadas exactas para navegar con esta estrella en el vasto océano de la cuarta dimensión)."
Observaciones
Todas las gráficas en el espacio R4 de este blog fueron trazadas con ayuda del software “graficador E4D”.
“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"
Biblografía
- Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
- Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
- Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2.
Otras fuentes del escrito
Para consultas y otras cosas de interés común (Simposio, seminarios, congresos, entre otros) favor escribir al siguiente correo: cmmm7031@gmail.com
- Wikipedia, disponible en: Phillipe de La Hire
- La Astroide, disponible en: mathworld-wolfram, wikipedia
- Ludwig Schläfli, disponible en: Mac Tutor
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