Superficies geométricas en el espacio 4D
© Por: Dr. Carlos Martínez, Domingo 25/09/2016
Una superficie es lugar
geométrico propio de un espacio tridimensional, formado por un conjunto de
puntos que satisfacen la siguiente
ecuación:
f(x, y, z) = 0, ec. (1)
El recíproco también debe
cumplirse, si una superficie puede representarse analíticamente mediante una ecuación, ésta debe tener la forma dada
por la ecuación (1)[1]. Si, f es una función de dos variables, digamos x e y; entonces, el
lugar geométrico de f es un conjunto de puntos, digamos (x,y,
z) de R3, para los cuales (x, y) es un punto del dominio de f, así;
z = f(x,y), ec. (2)
El lugar geométrico de f es una superficie que consta de todos
los puntos del espacio tridimensional y cuyas coordenadas están determinadas
por la terna, digamos (x, y, z) de R3.[2]
Ahora, que sucede en R4.
Veamos lo siguiente, como en un espacio de cuatro dimensiones existen
cuatro sub-espacios tridimensionales, una superficie en R4 se puede
definir de cuatro maneras diferentes [3]. En vista de que una
superficie es un lugar geométrico propio tridimensional, una superficie en R4
es un lugar geométrico formado por los puntos que satisfacen a una de las
siguientes ecuaciones:
f(x, y, z, 0) = 0, ec. (3)
f(x, y, 0, w) = 0, ec. (4)
f(x, 0, z, w) = 0, ec. (5)
f(0, y, z, w) = 0, ec. (6)
Euclides definió a una superficie
de la siguiente manera (Libro I, Los elementos): “Una superficie es aquello que
sólo tiene longitud y anchura”. Desde el punto de vista topoñógico, una superficie es un conjunto de puntos de un espacio euclidiano
que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, visto
de cerca, se parece al espacio euclidiano bidimensional. Una superficie es
un lugar geométrico propio de R3. A continuación, se muestran ejemplo de superficies en R4 .
Ejemplo 01: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Respuesta: Las gráficas de la figura 01 corresponden a lugares geométricos (superficies) asociados a la ecuación analítica (7). Observe que,
ambas gráficas fueron trazadas en un espacio de R4 con w=0. Estas gráficas fueron elaboradas
con ayuda del software “graficadorE4D”, señalado y referenciado en blogs
anteriores.
Figura 01: Superficies asociadas al ejemplo 01.
Figura 02: Superficies asociadas al ejemplo 01.
Ejemplo 02: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Respuesta: Las gráficas de la figura 03 corresponden a lugares geométricos (superficies) asociados a la ecuación analítica (8). Observe que, las
gráficas fueron trazadas en un espacio de R4 con z = 0. Estas gráficas fueron elaboradas con
ayuda del software “graficadorE4D”.
Figura
03:
Superficies asociadas al ejemplo 02.
Ejemplo 03: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Respuesta: La figura 03 corresponde al lugar
geométrico (superficie) asociado a la ecuación analítica (9). Observe que, la
gráfica fue trazada en un espacio de R4 con z=0. Esta gráfica fue elaborada con ayuda del software
“graficadorE4D”.
Figura 04: Superficie asociada al ejemplo 03.
Ejemplo 04: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Respuesta: La figura 05 corresponde al lugar
geométrico (superficie) asociado a la ecuación analítica (10). Observe que, la
gráfica fue trazada en un espacio de R4 con z=0. Esta gráfica fue elaborada con ayuda del software
“graficadorE4D”.
Figura 05: Superficie asociada al ejemplo 04.
Ejemplo 05: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Respuesta: Las gráficas de ls figura 06 corresponden a lugares geométricos (superficies) asociados a la ecuación analítica (11). Observe que, las
gráficas fueron trazadas en un espacio de R4 con z=0. Estas gráficas fueron elaboradas con
ayuda del software “graficadorE4D”.
Figura 06: Superficie asociada al ejemplo 04.
Ejemplo 06: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Para: z = -4, z =
0 y z = 4.
Respuesta: Las gráficas de la figura 07
corresponden a los lugares geométricos (tipos superficies) asociados a la
ecuación analítica (12) para los valores de z dados en el ejemplo. Observe que,
las gráficas fueron trazadas en un espacio de R4 para: z = -4, z =
0 y
z = 4. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software
“graficadorE4D”.
Figura 07: Superficie asociada al ejemplo 06.
Ejemplo 07: Hallar el lugar geométrico asociado a la ecuación
analítica,
Para: z ={- ½, 0, ½} y para z = [- 1/2, 1/2].
Respuesta: Las gráficas de la figura 08 lado
izquierdo corresponden a los lugares geométricos (tipos superficies) asociados a
la ecuación analítica (13) para los valores de z ={- ½,
0, ½}. Observe que, las gráficas son superficies de niveles para tres
valores de z diferentes en la ecuación (13). Mientras que la gráfica de la derecha se corresponde
con un lugar geométrico propio de la cuarta dimensión, o sea un sólido y está
formado por infinitas superficies de niveles tridimensionales asociadas a la ecuación (13). Reafirmando lo dicho en blogs anteriores, una figura geométrica en 4D es un sólido.
Figura 08: Lugares geométricos asociados al
ejemplo 07.
Es de destacar que todas las
gráficas fueron trazadas en un espacio de R4. Estas gráficas fueron
elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”.
“La geometría de alta dimensión está presente en el interior de los cuerpos.”
Biblografía
[1] Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría
analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
[2] Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN:
978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.
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Autor
Dr. Carlos M. Martínez M.
Profesor titular
República Bolivariana de Venezuela
Universidad de Carabobo
Escuela de Ingeniería Industrial
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