Rectas del espacio E4D y sus proyecciones en espacios de baja dimensión

Trazado de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en E3D y E2D conocidos dos de sus puntos característicos

© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Sabado 28/02/2026

cmmm7031@gmail.com

Objetivos

Objetivo General

El objetivo principal de este blog consiste en trazar rectas en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (E4D) a partir de dos puntos característicos cualesquiera conocidos que definen su ecuación. Luego, con la información contenida en los dos puntos característicos y en su ecuación, proceder a trazar sus proyecciones ortogonales sobre los subespacios tridimensionales (E3D) y bidimensionales (E2D).

Definición de puntos característicos

Definimos como puntos característicos de una recta en el espacio E4D aquellos puntos notables de la recta que son importantes para su traza y para la traza de sus proyecciones, debido a la información que disponen. Los puntos característicos de una recta pueden estar contenidos o no estar contenidos en ella. Los  que pertenecen  permiten determinar de manera única su posición y su dirección en el espacio cuatridimensional y los que no, permiten trazar sus proyecciones. a espacios de menor dimensión. El concepto es extendible a cualquier número de dimensiones. Los puntos característicos de una recta incluyen puntos de intersección de la recta y sus proyecciones, puntos de trazas, puntos de intersecciones con ejes y/o con los planos coordenados e hiperplanos del espacio en consideración. Los puntos en proyecciones preservan propiedades geométricas esenciales de la recta principal y son útiles para la traza de sus proyecciones en los espacios de menor dimensión. Análogamente a las “trazas” en la Geometría Descriptiva clásica en E3D (intersecciones con los planos coordenados), en E4D estos puntos suelen elegirse como los lugares donde la recta intersecta dos hiperplanos coordenados principales distintos (dígase, por ejemplo: el hiperplano, $w = 0$ y/o el hiperplano, $y = 0$, o cualquier par de puntos convenientes). Esta elección facilita enormemente el cálculo de las ecuaciones paramétricas y la obtención directa de todas las proyecciones ortogonales sucesivas.

Objetivo específicos

• Determinar las ecuaciones de la recta E4D que pasa por los dos puntos característicos dados.
• Trazar la recta E4D, destacando el rol principal de los puntos característicos  en la ecuación de la recta y en el trazado geométrico..
• Identificar las proyecciones ortogonales de los dos puntos característicos dados sobre los subespacios E3D y E2D.
• Determinar las ecuaciones de las rectas en proyección de los subespacio E3D y E2D
• Ilustrar la traza  conjunta de la recta E4D y las rectas proyectadas en lo subespacios E3D y E2D.

Metodología

Nuetro objetivo "macro final" es dar a conocer una técnica que permite el trazado de variedades simples y complejas en el espacio E4D. El presente blog corresponde a una serie  de artículos publicados con la finalidad de ilustrar la traza de una de las variedades geométricas más simples en el complejo mundo del trazado de variedades de la cuarta dimensión: La línea recta en 4D. Se busca extender el conocimiento desarrollado de una metodología sistemática diseñada para trazar rectas E4D. Este blog es sólo un ápice de una enciclopedia completa ya desarrollada y probada desde 2014 (no es especulación) sobre el tópico, véase [3]. La metodología que utilizaré en este blog es sencilla y pedagógica, reproducible, fácil de comprender y  útil para el trazado y visualización de variedades de la 4D. Primero, aplicaremos la metodología en un ejemplo clásico 3D (para que el lector reconozca y tenga presente el procedimiento) y luego extenderé los conceptos al espacio de interés (4D). Para desarrollar el ejercicio haré uso de dos herramientas complementarias de apoyo: el software "Graficador  E4D" (software desarrollado por el autor) y el programa "Desmos 3D" en su versión gratuita (para mostrar la aplicación de la metodología en el ejemplo ilustrativo 3D).

Ejemplos

Ejemplo ilustrativo 01. Determine la ecuación de la recta 3D que pasa por los puntos: $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$, trace la recta  y  sus proyecciones sobre los planos coordenados.

Solución: Como ya se mencionó, primero aplicaremos la metodología en este ejemplo ilustrativo en 3D y luego extenderemos los conceptos al espacio de interés (4D). 

Vector director: $ \vec{D}=P_{2}-P_{1}$, así,

$$P(x,y,z)=P_{2}+t*\vec{D}$$

La ecuación de la recta, 

$$P(x, y,z)=P_{2}(10, 15, 15)+t*\vec{D}(2.5, 10, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=15+5*t$$

Trazado de la recta L.

 Figura Nº 01. Trazado de la recta L en el espacio E3D.

La figura Nº 01 muestra el trazado de la recta L en el espacio E3D (XYZ) utilizando el programa "Graficador E4D". En la figura se señalan los dos puntos característicos dados y la traza de L. Ahora, procedemos a proyectar los dos puntos dados en los tres planos coordenados, dígase: $XY$, $XZ$ y $YZ$. La figura Nº 02 muestra las proyecciones de los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ sobre los planos coordenados. Observe, que las proyecciones de los puntos fueron resaltadas en colores: rojos, azul marino y cyan (azul celeste). Rojo para las proyecciones sobre el plano $XZ$, azul marino para las proyecciones sobre el plano $XY$ y azul celeste para las proyecciones sobre el plano $YZ$. Por intuición, se puede asegurar que al proyectar la recta L sobre los planos coordenados, las rectas proyectadas pasarán por cada par de puntos generados por las proyecciones ortogonales de los puntos originales conocidos (proyecciones sobre los planos coordenados). Por lo tanto, la información que contiene cada punto característico es vital en el momento de la proyecta la recta  en las dimensiones inferiores. Esto aplica para cualquier variedad y en cualquier dimensión y no es limitante sólo para proyecciones de rectas en dimensiones inferiores. En 3D, la información que contiene los paralelepípedos que se forman en la traza de puntos es fundamental para las proyecciones en 2D.

Figura Nº 02. Proyecciones de los puntos característicos sobre los planos coordenados.

Para demostrar lo mencionado en el párrafo anterior, procedemos a resolver el problema analíticamente y gráficamente, 

Para el subespacio $XY$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $XY$. $P_{1xy}=(7.5, 5, 0)$ y $P_{2xy}=(10, 15, 0)$. Puntos identificados con color azul marino en la figura  Nº 02.

Vector director: $ \vec{D_{xy}}=P_{2xy}-P_{1xy}$, así,

$$P_{1}(x, y, 0)=P_{2xy}+t*\vec{D_{xy}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{1}(x, y, 0)=P_{2xy}(10, 15, 0)+t*\vec{D_{xy}}(2.5, 10, 0)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=0$$

Para el subespacio $XZ$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $XZ$. $P_{1xz}=(7.5, 0, 10)$ y $P_{2xz}=(10, 0, 15)$. Puntos identificados con color rojo en la figura  Nº 02.

Vector director: $ \vec{D_{xz}}=P_{2xz}-P_{1xz}$, así,

$$P_{2}(x, 0, z)=P_{2xz}+t*\vec{D_{xz}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{2}(x, 0, z)=P_{2xz}(10, 0, 15)+t*\vec{D_{xz}}(2.5, 0, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=0$$

$$z=15+5 *t$$

Para el subespacio $YZ$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $yz$. $P_{1xz}=(0, 5, 10)$ y $P_{2yz}=(0, 15, 15)$. Puntos identificados con color azul celeste en la figura  Nº 02.

Vector director: $ \vec{D_{yz}}=P_{2yz}-P_{1yz}$, así,

$$P_{3}(0, y, z)=P_{2xz}+t*\vec{D_{xz}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{3}(0, y, z)=P_{2yz}(0, 15, 15)+t*\vec{D_{yz}}(0, 10, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=0$$

$$y=15+10 *t$$

$$z=15+5 *t$$

Ahora, procedemos al trazado de la recta L y de sus proyecciones ortogonales sobre los planos coordenados, véase figura Nº 03.

Figura Nº 03. Trazado de la recta L y de sus proyecciones en los planos coordenadosel espacio E3D.

El trazado de las rectas del ejercicio también la mostramos desarrollado en una versión gratuita del programa "Desmos 3D", véase  figura N° 04. Les dejo el enlace para que revisen el trazado y analicen el caso:  https://www.desmos.com/3d/d8504wyeul?lang=fr  

Figura Nº 04. Trazado de la recta L y de sus proyecciones en los planos coordenadosel espacio E3D.

Ejemplo ilustrativo 02. Determine la ecuación de la recta 4D que pasa por los puntos: $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$, trace la recta  y  sus proyecciones sobre los subespacios E3D y E2D.

Solución:  La metodología aplicada en este ejemplo ilustrativo en 4D es similar a la aplicada en el ejemplo N° 01 en 3D. Primero, trazamos los dos puntos característicos conocidos de la recta 4D en el espacio E4D; véase figura N° 05, determinamos las ecuaciones paramétricas que definen a la recta a partir de la información que disponen, luego trazamos su gráfica haciendo uso del software "Graficador E4D". Posteriormente, proyectamos los puntos característicos conocidos sobre los subespacios 3D y 2D, identicamos los puntos proyectados sucesivamente en 3D y en 2D, determinamos sus ecuaciones  y trazamos sus gráficas. La información que disponen los puntos característicos es vital en todo el proceso.

Figura Nº 05. Trazado de puntos característicos conocidos de la recta en el espacio E3D.

Vector director de la recta 4D: $ \vec{D}=P_{2}-P_{1}$, así,

$$P(x, y, z, w)=P_{2}+t*\vec{D}$$

La ecuación de la recta, 

$$P(x, y, z, w)=P_{2}(10, 15, 15, 20)+t*\vec{D}(2.5, 10, 5, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=15+5*t$$

$$w=20+5*t$$

Trazado de la recta L.

Figura Nº 06. Trazado  de la recta en el espacio E4D.

La figura Nº 07 muestra las proyecciones ortogonales de los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ sobre los  subespacios tridimensionales del sistema  E4D. Observe, que las proyecciones ortogonales de los puntos fueron resaltadas en colores:  azul marino, rojo, violeta y verde manzana. Azul marino para las proyecciones en el subespacio $XYZ$, rojo para las proyecciones en el subespacio $XZW$, violeta para las proyecciones en el subespacio $XYW$, y verde manzana para las proyecciones sobre el subespacio $YZW$. Por intuición, se puede asegurar que al proyectar la recta L sobre éstos subespacios 3D, las rectas proyectadas pasarán por cada par de puntos generados por las proyecciones ortogonales de los puntos originales conocidos (proyecciones 3D). Por lo tanto, la información que contiene cada punto característico es vital en el momento de proyectar  rectas  en las dimensiones inferiores. Esto aplica para cualquier variedad y en cualquier dimensión. Repetimos,  no es limitante sólo para proyecciones de rectas en dimensiones inferiores. En 4D, la información que contiene los teseractos que se forman en la traza de puntos 4D es crucial para las proyecciones en baja dimensión.

Figura Nº 07. Proyecciones de los dos puntos característicos sobre subespacios 3D.

Ahora, procedemos a resolver a proyectar y resolver el problema analíticamente y gráficamente, 

Para el subespacio $XYZ$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el subespacio $XYZ$. $P_{1xyz}=(7.5, 5, 10, 0)$ y $P_{2xyz}=(10, 15, 15, 0)$. Puntos identificados con color azul marino en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{xyz}}=P_{2xyz}-P_{1xyz}$, así,

$$P_{1}(x, y, z, 0)=P_{2xyz}+t*\vec{D_{xyz}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{1}(x, y, z, 0)=P_{2xyz}(10, 15, 15, 0)+t*\vec{D_{xyz}}(2.5, 10, 5, 0)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=15+5*t$$

$$w=0$$

Para el subespacio $XYW$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el subespacio $XYW$. $P_{1xyw}=(7.5, 5, 0, 15)$ y $P_{2xyw}=(10, 15, 0, 20)$. Puntos identificados con color violeta en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{xyw}}=P_{2xyw}-P_{1xyw}$, así,

$$P_{2}(x, y, 0, w)=P_{2xyw}+t*\vec{D_{xyw}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{2}(x, y, 0, w)=P_{2xyw}(10, 15, 0, 20)+t*\vec{D_{xyw}}(2.5, 10, 0, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10 *t$$

$$z=0$$

$$w=20+5 *t$$

Para el subespacio $XZW$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el plano $XZW$. $P_{1xzw}=(7.5, 0, 10, 15)$ y $P_{2xzw}=(10, 0, 15, 20)$. Puntos identificados con color rojo en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{xzw}}=P_{2xzw}-P_{1xzw}$, así,

$$P_{2}(x, 0, z, w)=P_{2xzw}+t*\vec{D_{xzw}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{2}(x, 0, z, w)=P_{2xzw}(10, 0, 15, 20)+t*\vec{D_{xzw}}(2.5, 0, 5, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=0$$

$$z=15+5 *t$$

$$w=20+5 *t$$

Para el subespacio $YZW$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el subespacio $yzw$. $P_{1yzw}=(0, 5, 10, 15)$ y $P_{2yzw}=(0, 15, 15, 20)$. Puntos identificados con color verde manzana en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{yzw}}=P_{2yz}-P_{1yzw}$, así,

$$P_{3}(0, y, z, w)=P_{2yzw}+t*\vec{D_{yzw}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{3}(0, y, z, w)=P_{2yzw}(0, 15, 15, 20)+t*\vec{D_{yzw}}(0, 10, 5, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=0$$

$$y=15+10 *t$$

$$z=15+5 *t$$

$$w=20+5 *t$$

Ahora, procedemos al trazado de la recta L y de sus proyecciones ortogonales sobre los espacio 3D de E4D véase figura Nº 08

Figura Nº 08. Trazado  de la recta E4D  y sus proyecciones en los subespacios E3D.

El siguiente paso consiste en proyectar la recta  L en los subespacios bidimensionales. Una tarea similar a la ya ejecutada en el ejemplo ilustrativo N° 01. Por lo tanto, la dejamos como ejercicio para nuestros apreciados lectores.  

Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E4D consulte: 

Blogs similares en esta serie 

Observaciones

• Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “Graficador E4D”.
• El sistema de distribución de los ejes utilizado en este blog es MaDMaI, que es un sistema de organización  propio de la 4D (detallado en la 2da versión del libro Geometría E4D). Es un método propio para organizar y distribuir los ejes en un sistema de ejes coordenados E4D.
• Para optimizar la redacción del blog se tomó algunas sugerencias de Grok IA
• Para el autor, la retroalimentación y críticas constructivas son bienvenidas y apreciadas. 

Coclusiones

Al finalizar este artículo hemos cumplido plenamente el objetivo general planteado: identificar dos puntos característicos que definen la traza de una recta en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (E4D) y realizar su trazado, junto con todas sus proyecciones ortogonales sucesivas sobre los subespacios E3D y E2D. Mediante el ejemplo desarrollado con los puntos P₁(10, 15, 10, 20) y P₂(7.5, 5, 10, 15, hemos demostrado de forma práctica y reproducible cómo este método extiende de manera natural y elegante las herramientas clásicas de la Geometría Descriptiva al ámbito cuatridimensional. La analogía con las trazas en E3D resulta inmediata y poderosa: lo que antes se hacía con regla y escuadra en tres dimensiones, ahora se logra con la misma precisión en cuatro. El empleo combinado del Graficador E4D (software desarrollado por el autor) y Desmos 3D permite al lector visualizar en tiempo real la perfecta coherencia entre las ecuaciones paramétricas y las representaciones gráficas, haciendo accesible un tema que tradicionalmente ha sido considerado abstracto y de difícil comprensión.Esta técnica no es especulación. Forma parte de una enciclopedia completa y sistemática desarrollada desde 2014, publicada en el libro Geometría E4D (2016) y que continúa creciendo con esta serie de artículos.  Con este primer paso queremos abrir la puerta a un público internacional que desea comprender y visualizar la cuarta dimensión de manera rigurosa y reproducible. Invitamos al lector a continuar con las próximas entregas, donde abordaremos otras variedades más complejas en E4D. La cuarta dimensión ya dejó de ser una abstracción matemática: ahora puede dibujarse, entenderse y explorarse paso a paso.  ¡Gracias por acompañarnos en este viaje hacia la visualización geométrica de alto dimensión!

Biblografía

1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
3. Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.