Trazado de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en E3D y E2D
© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Jueves 08/01/2026
cmmm7031@gmail.com
Artículo corregido en fecha 21/01/2026 (última corrección)
Objetivo
El objetivo de este artículo consiste en mostrar la traza de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D.
Nota técnica: El objetivo principal de este artículo consiste en la traza de rectas en espacio E4D y de sus proyecciones en los subespacios E4D y E2D. Sin embargo, producto de revisiones posteriores a su publicación y el respeto a nuestro lectores nos hemos visto en la necesidad de corregir y mejorar esta publicación. La correción toma en consideración la extesión de la definición de los cosenos directores al espacio E4D. Por ello, añadiremos esta nota técnica:
- Extensión del concepto de cosenos directores a la cuarta dimensión: Los tres cosenos en 3D están definidos como: $(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$. En E4D, tenemos cuatro ejes: X, Y, Z y W. Así, los cosenos directores en 4D están definidos como: $(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma),\cos(\theta))$.
- Formulas para el calculo de los cosenos directores en E4D: Si el vector director es $V=(\upsilon_{x},\upsilon_{y},\upsilon_{z},\upsilon_{w})$, los cosenos directores se calculan, como:
$$\cos(\alpha)=\frac{\upsilon_{x}}{\left| V\right|},$$
$$\cos(\beta)=\frac{\upsilon_{y}}{\left| V\right|},$$
$$\cos(\gamma)=\frac{\upsilon_{z}}{\left| V\right|},$$
$$\cos(\theta)=\frac{\upsilon_{w}}{\left| V\right|}$$
Donde:
$$\left| V\right|=\sqrt{\upsilon^{2}_{x}+\upsilon^{2}_{y}+\upsilon^{2}_{z}+\upsilon^{2}_{w}}$$
- Identidad fundamental en E4D: La suma de todos los cosenos directores al cuadrado cada uno es igual a uno, así:
$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$
Esta última identidad es fundamental para poder extender y entender el concepto de cosenos directores en la traza de rectas en E4D.
Ejemplo 01. Trace la recta E4D asociada a las siguientes ecuaciones.
Además, se conoce que la recta dada pasa por el origen de coordenadas.
Solucion: A continuación, en la figura N 01 se muestra la traza del lugar geométrico asociado
al ejemplo 01. En este caso, el lugar geométrico corresponde a una recta E4D, véase figura N 01.
La figura muestra una recta en E4D (trazada el verde manzana) que pasa por los punto $P_{1} = (10,
15, 10, 25)$ y por el punto $P_{0}=(0,0,0,0)$. La recta fue trazada en un espacio E4D con ayuda del software Graficador E4D. Los
ejes coordenados de E4D están etiquetados con las letras X, Y, Z y W. El sistema coordenado es
de tipo MaDMaI (XYZ-Mano Derecha YZW-Mano Izquierda; en inglés: HaRHaL). Clasificado de
esta forma, según reglas convenio en la 2da edición del libro de Martínez [3]. Para trazar la
recta en espacio E4D se hizo uso de las ecuaciones parametrizadas dadas en el ejemplo una vez calculado sus cosenos directores que precisa su orientación en el espacio E4D. La traza
de este lugar geométrico se puede lograr dando diferentes valores al parametro t y
calculando los valores correspondientes de sus coordenadas.
Calculos: A continuación se muestra los calculos de los cosenos directores de la recta $l_{xyzw}$.
Con los puntos $P_{1}=(10, 15, 10 ,25)$ y $P_{0}=(0,0,0,0)$ calculamos el modulo del vector director de la recta,
$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(10-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$
Así,
$$\left| V\right|=32.4037$$
Por lo tanto,
$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.3086$,
$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.4629$,
$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.3086$,
$\cos(\theta)=\frac{x_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.7715$
Verificando la identidad fundamental, se cumple que:
$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$
y se cumple que,
$$(0.3086)^{2}+(0.4629)^{2}+(0.3086)^{2}+(0.7715)^{2}=1$$
El sistema coordenado E4D nos permite trazar de forma
simultánea las variedades geométricas en los espacios: 4D, 3D y 2D
Figura Nº 01. Trazado de una recta en el espacio E4D.
Ejemplo 02. Trace las proyecciones tridimensionales del lugar geométrico asociado al ejemplo
01.
Solución: El sistema coordenado E4D mapeado con los ejes: X, Y, Z y W está formado por
cuatro (4) subespacios E3D, dígase: YZW, XZW, XYW y XYZ.
2.1 Subespacio YZW
Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio
YZW, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en el susbespacio YZW.
Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio YZW es necesario deducir sus ecuaciones. Se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio YZW encontramos uno de los puntos y basta con hacer a $x=0$. Así, si $P_{2}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio YZW, entonces: $P_{2} = (0, 15, 10, 25)$. Ahora si, $x=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que:
$$t=\frac{(0-10)}{0.3086}$$
Por lo tanto, $t=-32.4037$
$$y=15-32.4037*0.4629$$
$$y=0$$
$$z=10-32.4037*0.3086$$
$$z=0$$
$$w=25-32.4037*0.7715$$
$$w=0$$
Significa que ambas rectas pasan por el origen de coordenadas. Esto sucede porque cuando se proyecta ortogonalmente a $P_{0}=(0,0,0,0)$ en el subespacio YZW da como resultado el mismo punto. Trabajar en el subespacio 3D YZW es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $x=0$. Por lo tanto, por una proyección ortogonal se debe cumplir la identidad fundamental. De tal forma que:
$$\cos^{2}(\frac{\pi}{2})+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$
En el subespacio YZW (3D), es equivalente a decir que:
$$\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$
Así,
$$\left| V\right|=\sqrt{(0-0)^{2}+(15-0)^{2}+(10-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$
desarrollando,
$$\left| V\right|=30.8221$$
De esta manera,
$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.4867$,
$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.3244$,
$\cos(\theta)=\frac{w_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.8111$
y se cumple que,
$$(0.4867)^{2}+(0.3244)^{2}+(0.8111)^{2}=1$$
Trazar la recta que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación :
La figura Nº 02 muestra simultáneamente el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y su proyección en
subespacio E3D (YZW). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El
punto $P_{1}=(10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{2} = (0, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{2}$ ($l_{yzw}$). Ambas rectas pasan por el origen de coordenadas.
Figura Nº 02. Trazado de la recta E4D y de su proyección en el subespacio YZW.
2.2 Subespacio: XZW
Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio
XZW, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en el susbespacio XZW.
Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XZW es necesario deducir sus ecuaciones. Al igual que el caso anterior, se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XZW encontramos uno de los puntos y basta con hacer a $y=0$. Así, si $P_{3}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XZW, entonces: $P_{3} = (10, 0, 10, 25)$. Ahora si, $y=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que:
$$t=\frac{(0-15)}{0.4629}$$
Por lo tanto, $t=-32.4037$
$$x=10-32.4037*0.3086$$
$$x=0$$
$$z=10-32.4037*0.3086$$
$$z=0$$
$$w=25-32.4037*0.7715$$
$$w=0$$
Significa que la recta en proyección y la recta E4D pasan por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D XZW es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $y=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:
$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$
En el subespacio XZW (3D), es equivalente a decir que:
$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$
Por lo tanto,
$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(0-0)^{2}+(10-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$
Así,
$$\left| V\right|=28.7228$$
De esta manera,
$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.3482$,
$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.3482$,
$\cos(\theta)=\frac{w_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.8704$
y se cumple que,
$$(0.3482)^{2}+(0.3482)^{2}+(0.8704)^{2}=1$$
Trazar la recta que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación :
$$x=10+0.3482*t$$
$$y=0$$
$$z=10+0.3482*t$$
$$x=25+0.8704*t$$
La figura Nº 03 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y la de su proyección en
subespacio E3D (XZW). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador
E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{3} = (10, 0, 10, 25)$ pertenece a la
recta $l_{3}$ ($l_{xzw}$). Ambas rectas se intersecan el el origen de coordenadas.
2.3 Subespacio: XYW
Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio XYW, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en otro susbespacio tridimensional (el subespacio XYW).
Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XYW es necesario deducir sus ecuaciones. Al igual que el caso anterior, se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYW encontramos uno de los puntos y basta con hacer a $z=0$. Así, si $P_{4}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYW, entonces: $P_{4} = (10, 15, 0, 25)$. Ahora si, $z=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que:
$$t=\frac{(0-10)}{0.3086}$$
Por lo tanto, $t=-32.4037$
$$x=10-32.4037*0.3086$$
$$x=0$$
$$y=15-32.4037*0.4867$$
$$z=0$$
$$w=25-32.4037*0.8111$$
$$w=0$$
Significa que esta recta en proyección también pasa por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D XYW es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $z=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:
$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$
En el subespacio XZW (3D), es equivalente a decir que:
$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\theta)=1$$
Por lo tanto,
$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(0-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$
Así,
$$\left| V\right|=30.8221$$
De esta manera,
$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.3244$,
$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.4867$,
$\cos(\theta)=\frac{w_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.8111$
y se cumple que,
$$(0.3244)^{2}+(0.4867)^{2}+(0.8111)^{2}=1$$
Trazar la recta que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación :
$$x=10+0.3244*t$$
$$y=15+0.4867*t$$
$$z=0$$
$$x=25+0.8111*t$$
La figura Nº 04 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y la de su proyección en subespacio E3D (XYW). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{4} = (10, 15, 0, 25)$ pertenece a la recta $l_{4}$ ($l_{xyw}$) y ambas rectas pasan por el origen de coordenadas.
2.4 Subespacio: XYZ
Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio XYZ, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en el último susbespacio tridimensional de E4D no estudiado hasta ahora, el subespacio XYZ.
Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XYZ es necesario al igual que los otros casos, deducir sus ecuaciones. Se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYZ encontramos uno de los puntos y basta con hacer a $w=0$. Así, si $P_{5}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYZ, entonces: $P_{5} = (10, 15, 0, 25)$. Ahora si, $w=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que:
$$t=\frac{(0-25)}{0.8111}$$
Por lo tanto, $t=-32.4037$
$$x=10-32.4037*0.3086$$
$$x=0$$
$$y=15-32.4037*0.4867$$
$$y=0$$
$$z=10-32.4037*0.3086$$
$$z=0$$
Significa que esta recta en proyección también pasa por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D XYZ es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $w=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:
$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$
En el subespacio XYZ (3D), es equivalente a decir que:
$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)=1$$
Por lo tanto,
$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(10-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$
Así,
$$\left| V\right|=20.6155$$
De esta manera,
$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.4851$,
$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.7276$,
$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.4851$
y se cumple que,
$$(0.4851)^{2}+(0.7276)^{2}+(0.4851)^{2}=1$$
Trazar la recta que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación :
$$x=10+0.4851*t$$
$$y=15+0.7276*t$$
$$z=10+0.4851*t$$
$$w=0$$
La figura Nº 05 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y la de su proyección en subespacio E3D (XYZ). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{5} = (10, 15, 10, 0)$ pertenece a la recta $l_{5}$ ($l_{xyz}$) y ambas rectas pasan por el origen de coordenadas.
Ejemplo 03. Trace las proyecciones bidimensionales del lugar geométrico asociado al ejemplo
01.
.
Solución: El sistema coordenado E4D mapeado con los ejes: X, Y, Z y W está formado por seis
(6) subespacios E2D, estos son: XY, XZ, XW, YZ, YW y ZW. En este ejemplo vamos a mostrar sólo
la proyección en el subespacio XY el resto de las proyecciones la dejamos como ejercicios para
nuestros queridos lectores.
3.1 Subespacio: XY
Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio XY, significa
trazar la variedad asociada con el ejemplo N 03 en el susbespacio XY.
Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XY es necesario al igual que los otros casos, deducir sus ecuaciones. Se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYZ encontramos uno de los puntos y basta con hacer a: $z=0$ y $w=0$. Así, si $P_{6}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XY, entonces: $P_{6} = (10, 15, 0, 0)$. Ahora si, $z=0$ y$w=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que:
$$t=\frac{(0-25)}{0.8111}$$
Por lo tanto, $t=-32.4037$
$$x=10-32.4037*0.3086$$
$$x=0$$
$$y=15-32.4037*0.4867$$
$$y=0$$
$$z=0$$
$$w=0$$
Significa que esta recta en proyección también pasa por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D XY es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $z=0$ y $w=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:
$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$
En el subespacio XY (2D), es equivalente a decir que:
$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)=1$$
Por lo tanto,
$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(0-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$
Así,
$$\left| V\right|=32.4037$$
De esta manera,
$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.5547$,
$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.8321$,
y se cumple que,
$$(0.5547)^{2}+(0.8321)^{2}=1$$
Trazar la recta que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación :
$$x=10+0.5547*t$$
$$y=15+0.8321*t$$
$$z=0$$
$$w=0$$
La figura Nº 06 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW),y la de su proyección en subespacio E3D (XYZ) y su proyección en E2D (XY). Todas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ está contenido en la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$), la recta $l_{5}$ ($l_{xyz}$) pasa por el punto $P_{5} = (10, 15, 10, 0)$ y la recta $l_{xy}$) pasa por el punto $P_{6}=(10,15,0,0)$. Las tres rectas rectas pasan por el origen de coordenadas.
Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E4D consulte:
Observaciones
Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de $R^{4}$ con ayuda del software “graficadorE4D”.
Con este artículo se resuelve parcialmente el problema que limta el desarrollo la geometría multidimensional:
Visualizar variedadesentes geométricas de la cuarta dimensión (Ver lo invisible, diría Géminis IA).
El sistema MaDMaI es un sistema propio (detalla en la 2da. edición del libro Geometría E4D). Es un método ideado para
organizar los ejes en un sistema de ejes coordenados E4D. La Geometría E4D es una extesión de la Geometría de baja dimensión a dimensiones superiores: Objetivo
principal: Trazar, visualizar y analizar estructuras geométricas desde la más simple hasta la más abstracta y compleja.
Biblografía
1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
3. Martínez C. (2016). "Geometría E4D: Geometría del espacio euclidiano cuatridimensional vista desde la óptica bidimensional", 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720,
ASIN: B01C1LRGT8
