Superficies y sólidos tipo sillas de montar

Paraboloides Elípticos e Hiperbólicos 4D

© Por: DR. Carlos Martínez, Miércoles 12/10/2016

Cuádricas en el espacio 4D

En este artículo vamos a considerar las cuádricas representadas por la siguiente ecuación:

  z =  Ax² +  By² + C,  con  w = 0,   ec. (01)

 w =  Ax² +  By² + C,  con  z = 0,   ec. (02)

 w =  Ax² +  Bz² + C,  con  y = 0,   ec. (03)

 w =  Ay² +  Bz² + C,  con  x = 0,   ec. (04)

Donde todos los coeficientes son diferentes de cero con excepción de la Constante C que puede tomar cualquier valor real. Las estructuras de las ecuaciones anteriores se pueden indicar que representan las ecuaciones canónicas u ordinarias de la cuádricas 3D en el espacio 4D. Las diversas combinaciones en las constantes y en sus signos en las ecuaciones anteriores, producen varios tipos de paraboloides, entre ellos:

•  Los paraboloides Elípticos: que son aquellas superficies con ecuaciones similares a las ecuaciones dadas y coeficientes de sus términos A y B, con el mismo signo.
•  Los paraboloides Hiperbólicos: que son aquellas superficies con ecuaciones similares a las ecuaciones dadas y coeficientes de sus términos A y B, con signos diferentes.

 Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

 w =  x²/12 - y²/24 + 1/4,  con  z = 0,   ec. (05)

A continuación, la figura 01 muestra lugares geométricos asociado a la ecuación 05.

   

Figura Nº 01. Lugares geométricos en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 01.

 Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

 z =  x²/12 - y²/24 + 1/4,  con  w = 0,   ec. (06)

A continuación la figura 02 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 06.

Figura Nº 02. Lugar geométrico en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 02.

 Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

 w =  x²/12 - 1/24 - z²/24,  con  y = 0,   ec. (06)

A continuación la figura 03 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 06.

Figura Nº 03. Lugar geométrico en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 03.

Hiperparaboloide 4D o Paraboloide 4D

Un paraboloide 4D es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie tridimensional tipo paraboloides. En  cuatro dimensiones la ecuación analítica pertenece a las cuádricas que se describe mediante la siguiente expresión

 w =  Ax² +Bx + Cy²+Dy+Ez²+Fz+Gxy+Hxz+Iyz+J ,   ec. (07)

Al igual que los paraboloides 3D en 4D, las diversas combinaciones en las constantes y en sus signos de la ecuación anterior, produce varios tipos de paraboloides, entre ellos: el hiperbólico y el elíptico. Vamos a ejemplificar con uno de tipo paraboloide hiperbólico 4D, o el Hiperparaboloide 4D que se corresponde con la famosa silla de montar sólida.

Ejemplo 04. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

 w =  x²/12 - y²/24 + z²/4,  ec. (08)

A continuación la figura 02 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 08.

Figura Nº 04. Lugares geométricos en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 04.

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “graficadorE4D”.

“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"

Biblografía

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

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Autor

Dr. Carlos M. Martínez  M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

Universidad de Carabobo

Escuela de Ingeniería Industrial

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