Hiperboloide de dos Hojas 4D
© Por: DR. Carlos Martínez.
Publicación : Sábado 15/10/2016
Mofdificación : Viernes 13/03/2026
En este artículo
vamos a considerar superficies y sólidos 4D tipo hiperboloides.
Hiperboloides 3D en el espacio 4D
Las superficies tipo
hiperboloides 3D en el espacio 4D, están representadas por la siguiente ecuación:
$$z^{2} = Ax^{2} + By^{2} + C, \ con\ w = 0, \ ec.(01)$$
$$w^{2} = Ax^{2} + By^{2} + C, \ con\ z = 0, \ ec.(02)$$
$$w^{2} = Ax^{2} + By^{2} + C, \ con\ y = 0, \ ec.(03)$$
$$w^{2} = Ax^{2} + By^{2} + C, \ con\ x = 0, \ ec.(04)$$
Un hiperboloide 3D
en 4D está definido para todos los coeficientes A y B diferentes de cero con
excepción de la Constante C que puede tomar cualquier valor real. Las ecuaciones anteriores se pueden indicar que
representan las ecuaciones canónicas u ordinarias de un hiperboloide 3D en el
espacio 4D y se clasifican en hiperboloides de una hoja, dos hojas y tipo cono
dependiendo del valor de C. Si C es negativo la superficie es un hiperboloide
de una hoja, si C es positivo la superficie es un hiperboloide de dos hojas y
si C es cero la superficie es un cono. Dependiendo, de los valores de A y B la
superficie tendrá secciones transversales circulares o elípticas. Si A y B son
iguales y distintos de cero, las secciones transversales de la superficie son
circulares, si A y B toman diferentes valores y ambas diferentes de cero, las
secciones transversales de la superficie son elípticas.
Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
$$w^{2} = 4x^{2} + 4y^{2} + 200, \ con \ z = 0, \ ec. (05)$$
A continuación la figura 01 muestra el
lugar geométrico asociado a la ecuación 05.
Figura Nº 01. Hiperboloide de dos
hojas en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 01.
Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
$$z^{2} = 4x^{2} + 4y^{2} + 200, \ con \ w = 0, \ ec. (06)$$
A continuación, la figura 02 muestra el
lugar geométrico asociado a la ecuación 06.
Figura Nº 02. Hiperboloide de dos
hojas en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 02.
Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
$$w^{2} = 4x^{2} + 4z^{2} + 200, \ con \ w = 0, \ ec. (07)$$
A continuación la figura 03 muestra el
lugar geométrico asociado a la ecuación 07.
Figura Nº 03. Hiperboloide de dos
hojas en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 03.
Superficies
de niveles 3D en 4D
Las funciones de
tres variables son figuras geométricas propias de la tercera dimensión (espacio
3D), con la siguiente estructura en sus ecuaciones analíticas en el espacio 3D:
$$f(x, y, z) = k, \ ec. (08)$$
Si f es una función cuyo dominio es el conjunto de todos lo puntos en $R^{3}$, la gráfica de f son superficies de niveles y definen una superficie sólida, una superficie 3D por cada valor de k, la unión de todas las superficies 3D forma el sólido . Cada superficie de nivel en un
espacio 3D es una figura geométrica subcobjunto de una estructura más compleja que
es una estructura propia del espacio 4D o lo que nosotros definimos como figura geométrica sólida, porque tiene una variable adicional que define otra medida espacial, adicional a las tres que definen una superficie en 3D, la hiperprofundidad que se traduce en nuestro mundo real como espesor. Para representar las estructuras 3D en un espacio de referencia de
cuatro dimensiones es necesario utilizar las siguientes ecuaciones:
$$f(x, y, z, 0) = k, \ ec. (09)$$
$$f(x, y, 0, w) = k, \ ec. (10)$$
$$f(x, 0, z, w) = k, \ ec. (11)$$
$$f(0,x, y, z) = k, \ ec. (12)$$
En un espacio de
cuatro dimensiones hay cuatro subespacio de tres dimensiones y seis subespacios
de dos dimensiones. Observe que, para cada valor de k, en cada una de las ecuaciones 9, 10, 11 y 12 es posible
construir una superficie de nivel por cada valor de k. El conjunto de todas las superficies de
niveles forman la estructura propia de la cuarta dimensión: el sólido.
Hiperboloide
4D
Un hiberboloide 4D
es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie
tridimensional tipo paraboloides. En
cuatro dimensiones la ecuación general y analítica un hiperboloide 4D pertenece a
las cuádricas 4D, que son figuras geométricas tipo sólidos y que se describen mediante la siguiente
expresión:
$$w^{2} = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz + gx+ hy+ iz + j, \ ec.(13)$$
Al igual que los hiperboloides 3D
en 4D, las diversas combinaciones de las constantes en la ecuación anterior,
produce varios tipos de figuras geométricas. Las más sencillas tienen la
siguiente estructura:
$$w^{2} = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + j, \ ec. (14)$$
con la siguiente reatricción $Sí, \ j\lt 0$,
$$ ax^{2}+ by^{2} + cz^{2} \ge -j$$
Un hiperboloide
4D está definido para todos los coeficientes a, b y c diferentes de cero
con excepción de la constante j no puede tomar cualquier valor en el campo de
los números reales, debe cumplirse la restricción anterior. La ecuación (14) representa la ecuación general de un hiperboloide en el espacio 4D. (que puede ser transformada en su forma canónica u ordinaria) Dependiendo del valor que tome la constante j, el sólido formado se puede clasificar
como un hiperboloide 4D de una hoja, dos hojas o tipo cono. Si, j es negativo el sólido formado es un
hiperboloide 4D de una hoja; si, j es
positivo el sólido es un hiperboloide 4D de dos hojas y si j es
cero la superficie es un cono 4D. Los valores de a, b y c definen otra
característica del sólido. Si las constantes a, b y c son iguales el
hiperboloide es esférico; por lo tanto, "las superficies transversales" son superficies
de niveles son esferas conformada por circunferencias. Si por lo menos uno de los tres valores entre a, b y c difiere de los otros dos, el hiperboloide es elipsoidal; por lo que,
las superficies transversales son superficies de niveles tipo elipsoides conformadas por elipses. En este artículo y para
ejemplificar, sólo se muestran los hiperboloides de dos hojas 4D: el esférico
y el elipsoidal, el resto de las figuras
de este tipo pueden consultarlo en el libro “Geometría E4D” señalado en las referencias de este documento.
Ejemplo 04. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
$$w^{2} = 4x^{2} + 4y^{2} + 4z^{2} + 200, \ ec.(15)$$
A continuación la figura 04 muestra un lugar geométrico específico asociado a la ecuación 15. En este caso se corresponde con un hiperboloide 4D esférico
de dos hojas.
Figura Nº 04. Hiperboloide 4D esférico de dos hojas en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 04.
Ejemplo 05. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
$$w^{2} = (2/25) x^{2} + (1/8) y^{2}+ (1/2) z^{2} + 200, \ ec. (16)$$
A continuación la figura 05 muestra los
lugares geométricos asociados a la ecuación 15 que se corresponde con un hiperboloide 4D elipsoidal
de dos hojas.
Figura Nº 05. Hiperboloide 4D elipsoidal de dos hojas en el espacio 4D,
asociado al Ejemplo 05.
Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de $R^{4}$ con ayuda del software “GraficadorE4D”.
“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"
Biblografía
[1] Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
[2] Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.
Autor
Dr. Carlos M. Martínez M.
Profesor titular
República Bolivariana de Venezuela
Universidad de Carabobo
Escuela de Ingeniería Industrial
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