Hiperboloide de una Hoja 4D
© Por: DR. Carlos Martínez, Sábado 22/10/2016
En este artículo
vamos a continuar con las superficies y sólidos 4D tipo hiperboloides. En esta
ocasión se van a tratar hiperboloides de una hoja en el espacio de cuatro
dimensiones. Estas figuras geométricas pertenecen a la familia de las cuádricas.
Hiperboloides 3D en el espacio 4D
Las superficies tipo
hiperboloides 3D en el espacio 4D, están representadas por la siguiente ecuación:
z2 = Ax2 + By2 + C, con w = 0, ec. (01)
w2 = Ax2 + By2 + C, con z = 0, ec. (02)
w2 = Ax2 + Bz2 + C, con y = 0, ec. (03)
w2= Ay2 + Bz2 + C, con x = 0, ec. (04)
Un hiperboloide
3D en 4D está definido para todos los coeficientes A y B diferentes de cero con
excepción de la Constante C que puede tomar cualquier valor real. Las ecuaciones anteriores se pueden indicar que
representan las ecuaciones canónicas u ordinarias de un hiperboloide 3D en el
espacio 4D y se clasifican en hiperboloides de una hoja, dos hojas y tipo cono
dependiendo del valor de C. Si C es negativo la superficie es un hiperboloide
de una hoja, si C es positivo la superficie es un hiperboloide de dos hojas y
si C es cero la superficie es un cono. Dependiendo, de los valores de A y B la
superficie tendrá secciones transversales circulares o elípticas. Si A y B son
iguales y distintos de cero, las secciones transversales de la superficie son
circulares, si A y B toman diferentes valores y ambas diferentes de cero, las
secciones transversales de la superficie son elípticas.
Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
w2 = 8x2 + 8y2 - 16, con z = 0, ec. (05)
A continuación la figura 01 muestra lugares geométricos asociados a la ecuación 05.
Figura Nº 01. Hiperboloide de una
hoja en el espacio 4D asociado al Ejemplo 01.
Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
z2 = 8x2 + 8y2 - 16, con z = 0, ec. (06)
A continuación la figura 02 muestra el
lugar geométrico asociado a la ecuación 06.
Figura Nº 02. Hiperboloide de una
hoja en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 02.
Ejemplo
03. Trace el lugar
geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.
w2 = 8x2 + 8z2 - 16, con y = 0, ec. (07)
A continuación la figura 03 muestra el
lugar geométrico asociado a la ecuación 07.
Figura Nº 03. Hiperboloide de una
hoja en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 03.
Superficies
de niveles 3D en 4D
Las funciones con
tres variables son figuras geométricas propias de la tercera dimensión (espacio
3D). las ecuaciones analíticas en el espacio 3D de estas figuras geométricas
tienen la siguiente estructura:
f(x, y, z) = k, ec. (08)
Si f es una función cuyo dominio es un
conjunto de puntos de R3, la gráfica de f es una superficie de nivel para cada valor de k. Cada superficie de nivel en un
espacio 3D es una figura geométrica subcobjunto de una estructura más compleja que
es una estructura propia del espacio 4D o lo que nosotros conocemos como un
sólido. Para representar las estructuras 3D en un espacio de referencia de
cuatro dimensiones es necesario utilizar una de las siguientes ecuaciones:
f(x, y, z, 0) = k, ec. (09)
f(x, y, 0, w) = k, ec. (10)
f(x, 0, z, w) = k, ec. (11)
f(0,x, y, z) = k, ec. (12)
En un espacio de
cuatro dimensiones hay cuatro subespacios de tres dimensiones y seis subespacios
de dos dimensiones. Observe que, para cada valor de k, en cada una de las ecuaciones 9, 10, 11 y 12 es posible
construir una superficie de nivel. El conjunto de todas las superficies de
niveles forman la estructura propia de la cuarta dimensión el sólido.
Hiperboloide
4D
Un hiberboloide 4D
es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie
tridimensional tipo paraboloides. En
cuatro dimensiones la ecuación analítica un hiperboloide 4D pertenece a
las figuras geométricas tipo sólido que se describe mediante la siguiente
expresión:
w2 = ax2 +bx+ cy2 +dy+ ez2 +f z+gxy+hxz+iyz+j, ec. (13)
Al igual que los hiperboloides 3D en 4D, las diversas combinaciones de las constantes en la ecuación anterior, produce varios tipos de figuras geométricas. Las más sencillas tienen la siguiente estructura:
w2 = ax2 + cy2 + ez2 + j, ec. (14)
Un hiperboloide
4D esta definido para todos los coeficientes a, c y e diferentes de cero,
la constante j que puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales.
La ecuación (14) representa la ecuación
canónica u ordinaria de un hiperboloide en el espacio 4D. Dependiendo del valor
que tome la constante j, el sólido
formado se puede clasificar como un hiperboloide 4D de una hoja, dos hojas o
tipo cono. Si, j es negativo el sólido
formado es un hiperboloide 4D de una hoja (con a, c y e positivos); si j es positivo, con a, c y e positivos, el
sólido es un hiperboloide 4D de dos hojas y si j es
cero la superficie es un cono 4D. Los valores de a, c y e definen otra
característica del sólido. Si las constantes a, c y e son iguales el
hiperboloide es esférico; por lo tanto, las secciones transversales de las
superficies de niveles que lo conforman son circunferencias. Si uno de los tres
valores de a, c y e difiere de los otros dos el hiperboloide es elipsoidal; por
lo tanto, las secciones transversales de
las superficies de niveles que lo conforman son elipses. En este artículo y
para ejemplificar, sólo mostraremos el hiperboloide de dos hojas 4D el esférico
y el elipsoidal, el resto de las figuras
de este tipo pueden consultarlo en el libro “Geometría E4D” referenciado al
final del documento.
Ejemplo 04. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
w2 = 8x2 + 8y2 + 8z2 - 16, ec. (15)
A continuación la figura 04 muestra los
lugares geométricos asociados a la ecuación 15 que se corresponde con un hiperboloide 4D
esférico de una hoja.
Figura Nº 04. Hiperboloide 4D esférico de una hoja, asociado al Ejemplo
04.
Ejemplo 05. Trace el lugar geométrico asociado a la
siguiente ecuación analítica.
w2 = 16(x2 /4 +y2 /2 +z2/4 - 1/4), ec. (16)
A continuación la figura 05 muestra los
lugares geométricos asociados a la ecuación 15 que se corresponde con un hiperboloide 4D
elipsoidal de una hoja.
Figura Nº 05. Hiperboloide 4D de una hoja con secciones transversales elípticas en 2D y elipsoidales en 3D, asociado al Ejemplo
05.
Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R4 con ayuda del software “graficadorE4D”.
“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"
Biblografía
[1] Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
[2] Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.
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Enlace
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Autor
Dr. Carlos M. Martínez M.
Profesor titular
República Bolivariana de Venezuela
Universidad de Carabobo
Escuela de Ingeniería Industrial
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