Puntos característicos en rectas E4D y en sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D

 Parte I

© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Viernes 30/01/2026

cmmm7031@gmail.com

Objetivo

El objetivo general del tratado consiste en mostrar puntos que caracterizan  la traza de rectas del espacio E4D y en sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D. 

1. Introducción

En este artículo se muestran puntos característicos que definen la traza de rectas E4D y de sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D, tales como: puntos de intersección entre rectas, puntos de trazas, puntos comunes con los ejes coordenados y puntos de intersección con los planos coordenados. Para su construcción, me apoyaré de tratados de teorías y analíticas sobre la traza de rectas en espacios bidimensionales y tridimensionales, para luego extrapolar los  conceptos y extenderlos a espacios superiores. Para reforzar el procedimiento, utilizaré herramientas computacionales gráficas para realizar el análisis. Utilizaré como apoyo programas, tales como: "Graficador E4D" y "Desmos". Desmos dispone de una versión gratuita y está disponible en la web con sus limitantes. Pero su versión gratuita es útil para la traza de variedades geométricas en baja dimensión (2D y 3D). En la parte I del escrito se trata el tema del trazado de rectas en el espacio E3D, luego (en la parte II) extrapolaremos  los conceptos y nos ocuparemos del trazado de rectas en el espacio E4D, sus proyecciones y la identificación y trazado de puntos característicos.

2. Traza de puntos característicos en  rectas del espacio E3D y en sus proyecciones sobre los planos coordenados E2D

A continuación, vamos a desarrollar un ejemplo donde se muestran puntos característicos en la traza de rectas E3D y en la traza de sus proyecciones ortogonales sobre planos coordenados (2D).  Luego, mediante un ejemplo, extrapolaremos estos conceptos  al espacio de nuestro interés: la cuarta dimensión.

Ejemplo 01. Trace la recta que pasa por el punto P=(10, 15, 15) y cuyas componentes del vector director, son:

$$\vec{v}= \left\{\cos(\frac{\pi}{3}), 2, 1\right\}$$

Solución: A continuación, en la tabla N.° 1, se muestran los cálculos de las coordenadas:  $x$, $y$ y $z$ dado el valor $t$. Las ecuaciones paramétricas se obtienen a partir de los datos suministrados y la definición y parametrización de rectas en $\mathbb{R}^{3}$:

$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$

$$y=15+2*t$$

$$z=15+t$$

El calculo de las coordenadas de cada punto que petenece al lugar geométrico asociado a las ecuaciones se pueden visualizar en la tabla N.° 1.  Los valores de $t$ son arbitrarios, se decidió escoger una escala de "t" desde -50 a 50 con una interescala de 5 en 5, un capricho.

Tabla N.° 1. Calculo de las coordenadas: $x$, $y$ y $z$, dado el valor $t$ 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Valor de t	x	y	z
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-50	-15	-85	-35
-45	-12.5	-75	-30
-40	-10	-65	-25
-35	-7.5	-55	-20
-30	-5	-45	-15
-25	2.5	-35	-10
-20	5	-25	5
-15	2.5	-15	0
-10	5	-5	5
-5	7.5	5	10
0	10	15	15
5	12.5	25	20
10	15	35	25
15	17.5	45	30
20	20	55	35
25	22.5	65	40
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ahora, trazamos los puntos y la recta en el sistema de coordenadas cartesianas E3D, véase figura N.° 1. Se observan puntos colineales en el espacio E3D que indican la dirección que toma la recta $l_{xyz}$ (variedad E3D  trazada en color verde manzana). 

Figura N.° 1. Traza de puntos y recta en el sistema de coordenadas E3D

Si se sustituye el valor de $t=0$ en las ecuaciones dadas, se tiene que $x=10$, $y=15$ y $z=15$, lo que significa que la recta $l_{xyz}$ pasa por el punto $P_{1}=(10, 15, 15)$. Todos los puntos calculados definen la dirección que toma la recta en el espacio E3D. Ahora, nos interesa proyectar ortogonalmente a la recta E3D sobre los planos cartesianos, dígase: $XY$, $XZ$ y $YZ$.

• Subespacio: $XY$

Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{1}=(10, 15, 15)$  sobre el plano $XY$, se obtiene el punto $P_{a}=(10, 15, 0)$. Este punto está ubicado en el plano $XY$, y corresponde a uno de los puntos por donde pasa la recta en proyección. Analíticamente, basta con hacer $z=0$. Por ello, $P_{a}=(10, 15, 0)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $XY$ necesitamos otro punto que pertenezca a la recta en proyección. Una forma de hacerlo, es conseguir otro punto característico de la recta E3D y proyectarlo sobre el plano de interés; por ejemplo, el punto de intersección de la recta con el plano $XZ$, este punto es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Para calcularlo, hacemos: $y=0$. Con $y=0$ y con las ecuaciones de la recta E3D, se obtiene que:   

$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$

$$0=15+2*t$$

$$z=15+t$$

De la segunda ecuación tenemos que,

$t=-\frac{15}{2}$

Conocido, $t = -7.50$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado, véase figura N°2:

$$x=6.25$$

$$y=0$$

$$z=7.50$$

Figura N.° 2. Traza del punto de intersección de la recta E3D con el plano $XZ$

La figura N.° 3 muestra el punto $P_{2}=(6.25, 0, 7.5)$ (marcado en color azul marino) que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$, este es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Si se proyecta ortogonalmente el punto $P_{2}$ sobre el plano $XY$ se obtiene el segundo punto que necesitamos para trazar la recta proyectada sobre el plano $XY$. El segundo punto que buscamos es $P_{b}=(6.25,0,0)$, de modo que la recta proyectada en el plano queda definida como:

$$x=10+t*(10-6.25)$$

$$y=15+t*(15-0)$$

$$z=0+t*(0-0)$$

De esta manera la recta $l_{xy}$ queda definida, como:

$$x=10+3.75*t$$

$$y=15+15*t$$

$$z=0$$

Figura N.° 3. Traza de puntos característicos en la recta $l_{xyz}$ y en la recta $l_{xy}$

• Subespacio: $XZ$

Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{1}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $XZ$, se obtiene el punto $P_{c}=(10, 0, 15)$, Este punto está ubicado en el plano $XZ$, y corresponde a uno de los puntos por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $XZ$. Analíticamente, basta con hacer $y=0$. Por ello, $P_{a}=(10, 0, 15)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $XZ$ se  necesita otro punto que pertenezca a la recta en proyección, punto que ya conocemos; este es el punto $P_{2}$. La figura N.° 4 muestra el punto $P_{2}=(6.25, 0, 7.5)$ (marcado en color azul marino), que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$. Como ya conocemos dos puntos de la recta en proyección sobre el plano $XZ$, entonces, por la definición en la parametrización de rectas en E3D, se tiene que: 

$$x=10+t*(10-6.25)$$

$$y=0$$

$$z=15+t*(15-7.50)$$

De esta manera la recta $l_{xz}$ queda definida, como:

$$x=10+3.75*t$$

$$y=0$$

$$z=15+7.50*t$$

La figura N.° 4 muestra la traza de la recta $l_{xyz}$ (línea verde manzana) y la traza de recta en proyección sobre el plano $XZ$ (línea morada). Una aclaratoria: Se debe mencionar que la recta en proyección $l_{xz}$ (recta en color morado) pertenece al plano $XZ$. Sin embargo, la figura N.° 4 puede dar lugar a una mala interpretación, porque pareciera que la recta $l_{xz}$ pasa por el punto $P_{a}=(10, 15, 0)$ y no es así; es un problema de perspectiva que da lugar a un falso parecer.

Figura N.° 4. Traza de puntos característicos en la recta $l_{xyz}$ y en la recta $l_{xz}$

• Subespacio: $YZ$

El procedimiento es similar a los dos casos anteriores. Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{1}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $YZ$, se obtiene el punto $P_{c}=(0, 15, 15)$, Este punto está ubicado en el plano $YZ$, y corresponde a uno de los puntos por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $YZ$. Analíticamente, basta con hacer $x=0$. Por ello, $P_{a}=(0, 15, 15)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $YZ$ se  necesita otro punto que pertenezca a la recta en proyección. La forma de hacerlo, es conseguir otro punto característico de la recta E3D y proyectarlo sobre el plano de interés; por ejemplo, el punto de intersección de la recta con el plano $YZ$, este punto es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Para calcularlo, hacemos: $x=0$. Con, $x=0$ y con las ecuaciones de la recta E3D, se obtiene que: 

$$0=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$

$$y=15+2*t$$

$$z=15+t$$

De la primera ecuación, tenemos que,

$t=-\frac{10}{cos(\frac{\pi}{3})}$

Conocido, $t = -20.00$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado. Véase figura N°5:

$$x=0$$

$$y=-25$$

$$z=-5$$

La figura N.° 5 muestra el punto $P_{4}=(0, -25, -5)$ (marcado en color azul celeste), que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $YZ$. Y como ya se conocen los dos puntos de la recta en proyección sobre el plano $YZ$, entonces, por la definición en la parametrización de rectas en E3D, se tiene que:

$$x=0$$

$$y=15+t*(15+25)$$

$$z=15+t*(15+5)$$

De esta manera la recta $l_{yz}$ queda definida, como:

$$x=0$$

$$y=15+40*t$$

$$z=15+20*t$$

La figura N.° 5 muestra la traza de la recta $l_{xyz}$ (línea verde manzana) y la traza de recta en proyección sobre el plano $YZ$ (línea roja). Observe que la recta en proyección sobre el plano $YZ$ pasa por los puntos: $P=(0, 15, 15)$ y $P_{4}=(0, -25, -5)$. El punto $P_{4}$ es un punto característico de interés en la traza de la proyección, ya que es el punto de intersección de ambas rectas.

Figura N.° 5. Traza de puntos característicos en la recta $l_{xyz}$ y en la recta $l_{yz}$

A continuación, se muestra la figura  N.° 6, a la cual le añadimos un link activo que nos conduce a una página del programa "Desmos"  diseñada por este humilde servidor. La página muestra la traza de la recta en E3D, sus proyecciones sobre los planos coordenados y puntos característicos de interés en la traza de estas figuras geométricas. En esta figura podemos visualizar el falso parecer mencionado en la traza de la recta en proyección en el plano $XZ$. La recta $l_{xz}$ (trazada en color morado) no pasa por el punto $P=(10,15,0)$.

Figura N.° 6. Traza de rectas $l_{xyz}$, rcctas en proyección y puntos característicos (Desmos).

 

Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E3D, consulte:  Rectas en 3D.

  

Observaciones Todas las gráficas de la parte I de este tratado fueron elaboradas en el espacio de $R^{3}$. Nos apoyamos usando el software “graficadorE4D” y el programa "Desmos".  Nuestro objetivo (en esta parte del estudio), se centró en: mostrar la traza de puntos característicos en la traza de rectas del espacio E3D y de sus proyecciones en los subespacios E2D.

Fecha última revisión: 03/02/2026 

Biblografía 

1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana. 

2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press. 

3. Martínez C. (2016). "Geometría E4D: Geometría del espacio euclidiano cuatridimensional vista desde la óptica bidimensional", 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8

Trazado de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en E3D y E2D

 

Trazado de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en E3D y E2D

© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Jueves 08/01/2026

cmmm7031@gmail.com

Artículo corregido en fecha 21/01/2026 (última corrección)

Objetivo

El objetivo de este artículo consiste en mostrar la traza de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D. 

Nota técnica: El objetivo principal de este artículo consiste en la traza de rectas en espacio E4D y de sus proyecciones en los subespacios E4D y E2D. Sin embargo, producto de revisiones posteriores a su publicación y el respeto a nuestro lectores nos hemos visto en la necesidad de corregir y mejorar esta publicación. La correción toma en consideración la extesión de la definición de los cosenos directores al espacio E4D.  Por ello, añadiremos esta nota técnica:

• Extensión del concepto de cosenos directores a la cuarta dimensión: Los tres cosenos en 3D están definidos como: $(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma))$. En E4D, tenemos cuatro ejes: X, Y, Z y W. Así, los cosenos directores en 4D están definidos como: $(\cos(\alpha),\cos(\beta),\cos(\gamma),\cos(\theta))$.
• Formulas para el calculo de los cosenos directores en E4D: Si el vector director es $V=(\upsilon_{x},\upsilon_{y},\upsilon_{z},\upsilon_{w})$, los cosenos directores se calculan, como: 

$$\cos(\alpha)=\frac{\upsilon_{x}}{\left| V\right|},$$

$$\cos(\beta)=\frac{\upsilon_{y}}{\left| V\right|},$$

$$\cos(\gamma)=\frac{\upsilon_{z}}{\left| V\right|},$$

$$\cos(\theta)=\frac{\upsilon_{w}}{\left| V\right|}$$

Donde:

$$\left| V\right|=\sqrt{\upsilon^{2}_{x}+\upsilon^{2}_{y}+\upsilon^{2}_{z}+\upsilon^{2}_{w}}$$

• Identidad fundamental en E4D: La suma de todos los cosenos directores al cuadrado cada uno es igual a uno, así: 

$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$

Esta última identidad es fundamental para poder extender y entender el concepto de cosenos directores en la traza de rectas en E4D. 

Ejemplo 01. Trace la recta E4D asociada a las siguientes ecuaciones.

Además, se conoce que la recta dada pasa por el origen de coordenadas.

Solucion: A continuación,  en la figura N 01 se muestra la traza del lugar geométrico asociado al ejemplo 01. En este caso, el lugar geométrico corresponde a una recta  E4D, véase figura N 01. La figura muestra una recta en E4D (trazada el verde manzana) que pasa por los punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ y por el punto $P_{0}=(0,0,0,0)$. La recta fue trazada en un espacio E4D con ayuda del software Graficador E4D. Los ejes coordenados de E4D están etiquetados con las letras X, Y, Z y W. El sistema coordenado es de tipo MaDMaI (XYZ-Mano Derecha YZW-Mano Izquierda; en inglés: HaRHaL). Clasificado de esta forma, según reglas convenio en la 2da edición del libro de Martínez [3]. Para trazar la recta en espacio E4D se hizo uso de las ecuaciones parametrizadas dadas en el ejemplo una vez calculado sus cosenos directores que precisa su orientación en el espacio E4D. La traza de este lugar geométrico se puede lograr dando diferentes valores al parametro t y calculando los valores correspondientes de sus coordenadas.

Calculos:  A continuación se muestra los calculos de los cosenos directores de la recta $l_{xyzw}$.

Con los puntos $P_{1}=(10, 15, 10 ,25)$ y $P_{0}=(0,0,0,0)$ calculamos el modulo del vector director de la recta, 

$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(10-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$

Así,

$$\left| V\right|=32.4037$$

Por lo tanto,

$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.3086$,

$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.4629$,

$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.3086$,

$\cos(\theta)=\frac{x_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.7715$

Verificando la identidad fundamental, se cumple que:

$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$

y se cumple que,

$$(0.3086)^{2}+(0.4629)^{2}+(0.3086)^{2}+(0.7715)^{2}=1$$

El sistema coordenado E4D nos permite trazar de forma simultánea las variedades geométricas en los espacios: 4D, 3D y 2D 

Figura Nº 01. Trazado de una recta en el espacio E4D. 

Ejemplo 02. Trace las proyecciones tridimensionales del lugar geométrico asociado al ejemplo 01.

Solución: El sistema coordenado E4D mapeado con los ejes: X, Y, Z  y W está formado por cuatro (4) subespacios E3D, dígase: YZW, XZW, XYW y XYZ.  

2.1 Subespacio YZW 

Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio YZW, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en el susbespacio YZW.

Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio YZW es  necesario deducir sus ecuaciones. Se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio YZW encontramos uno de los puntos y basta con hacer a  $x=0$. Así, si $P_{2}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio YZW, entonces: $P_{2} = (0, 15, 10, 25)$. Ahora si, $x=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que: 

$$t=\frac{(0-10)}{0.3086}$$

Por lo tanto, $t=-32.4037$

$$y=15-32.4037*0.4629$$

$$y=0$$

$$z=10-32.4037*0.3086$$

$$z=0$$

$$w=25-32.4037*0.7715$$

$$w=0$$

Significa que ambas rectas pasan por el origen de coordenadas. Esto sucede porque cuando se proyecta ortogonalmente a $P_{0}=(0,0,0,0)$ en el subespacio YZW da como resultado el mismo punto. Trabajar en el subespacio 3D  YZW es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $x=0$. Por lo tanto, por una proyección ortogonal se debe cumplir la identidad fundamental. De tal forma que:

$$\cos^{2}(\frac{\pi}{2})+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$

 En el subespacio YZW (3D), es equivalente a decir que:

                            $$\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$

Así,

$$\left| V\right|=\sqrt{(0-0)^{2}+(15-0)^{2}+(10-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$

desarrollando,

$$\left| V\right|=30.8221$$

De esta manera,

$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.4867$,

$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.3244$,

$\cos(\theta)=\frac{w_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.8111$

y se cumple que,

$$(0.4867)^{2}+(0.3244)^{2}+(0.8111)^{2}=1$$

Trazar la recta  que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación : 

La figura Nº 02 muestra simultáneamente el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y su proyección en subespacio E3D (YZW). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1}=(10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{2} = (0, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{2}$ ($l_{yzw}$). Ambas rectas pasan por el origen de coordenadas.

Figura Nº 02. Trazado de la recta E4D y de su proyección en el subespacio YZW. 

2.2 Subespacio: XZW 

Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01  en el subespacio XZW, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en el susbespacio XZW.

Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XZW es  necesario deducir sus ecuaciones. Al igual que el caso anterior, se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XZW encontramos uno de los puntos y basta con hacer a  $y=0$. Así, si $P_{3}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XZW, entonces: $P_{3} = (10, 0, 10, 25)$. Ahora si, $y=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que: 

$$t=\frac{(0-15)}{0.4629}$$

Por lo tanto, $t=-32.4037$

$$x=10-32.4037*0.3086$$

$$x=0$$

$$z=10-32.4037*0.3086$$

$$z=0$$

$$w=25-32.4037*0.7715$$

$$w=0$$

Significa que la recta en proyección y la recta E4D pasan por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D  XZW es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $y=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:

$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$

 En el subespacio XZW (3D), es equivalente a decir que:

$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$$

Por lo tanto,

$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(0-0)^{2}+(10-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$

Así,

$$\left| V\right|=28.7228$$

De esta manera,

$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.3482$,

$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.3482$,

$\cos(\theta)=\frac{w_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.8704$

y se cumple que,

$$(0.3482)^{2}+(0.3482)^{2}+(0.8704)^{2}=1$$

Trazar la recta  que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación : 

$$x=10+0.3482*t$$

$$y=0$$

$$z=10+0.3482*t$$

$$x=25+0.8704*t$$

La figura Nº 03 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y la de su proyección en subespacio E3D (XZW). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{3} = (10, 0, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{3}$ ($l_{xzw}$). Ambas rectas se intersecan el el origen de coordenadas.

Figura Nº 03. Proyección de la recta E4D en el subespacio XZW

2.3 Subespacio: XYW 

Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01  en el subespacio XYW, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en otro susbespacio tridimensional  (el subespacio XYW).

Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XYW es  necesario deducir sus ecuaciones. Al igual que el caso anterior, se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYW encontramos uno de los puntos y basta con hacer a  $z=0$. Así, si $P_{4}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYW, entonces: $P_{4} = (10, 15, 0, 25)$. Ahora si, $z=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que: 

$$t=\frac{(0-10)}{0.3086}$$

Por lo tanto, $t=-32.4037$

$$x=10-32.4037*0.3086$$

$$x=0$$

$$y=15-32.4037*0.4867$$

$$z=0$$

$$w=25-32.4037*0.8111$$

$$w=0$$

Significa que esta recta en proyección también pasa por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D  XYW es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $z=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:

$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$

 En el subespacio XZW (3D), es equivalente a decir que:

$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\theta)=1$$

Por lo tanto,

$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(0-0)^{2}+(25-0)^{2}}$$

Así,

$$\left| V\right|=30.8221$$

De esta manera,

$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.3244$,

$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.4867$,

$\cos(\theta)=\frac{w_{1}-w_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\theta) = 0.8111$

y se cumple que,

$$(0.3244)^{2}+(0.4867)^{2}+(0.8111)^{2}=1$$

Trazar la recta  que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación : 

$$x=10+0.3244*t$$

$$y=15+0.4867*t$$

$$z=0$$

$$x=25+0.8111*t$$

La figura Nº 04 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y la de su proyección en subespacio E3D (XYW). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{4} = (10, 15, 0, 25)$ pertenece a la recta $l_{4}$ ($l_{xyw}$) y ambas rectas pasan por el origen de coordenadas.

 Figura Nº 04. Proyección de la recta E4D en el subespacio XYW

2.4 Subespacio: XYZ 

Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01  en el subespacio XYZ, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 02 en el último susbespacio tridimensional de E4D no estudiado hasta ahora, el subespacio XYZ.

Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XYZ es  necesario al igual que los otros casos, deducir sus ecuaciones. Se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYZ encontramos uno de los puntos y basta con hacer a  $w=0$. Así, si $P_{5}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYZ, entonces: $P_{5} = (10, 15, 0, 25)$. Ahora si, $w=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que: 

$$t=\frac{(0-25)}{0.8111}$$

Por lo tanto, $t=-32.4037$

$$x=10-32.4037*0.3086$$

$$x=0$$

$$y=15-32.4037*0.4867$$

$$y=0$$

$$z=10-32.4037*0.3086$$

$$z=0$$

Significa que esta recta en proyección también pasa por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D  XYZ es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $w=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:

$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$

 En el subespacio XYZ (3D), es equivalente a decir que:

$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)=1$$

Por lo tanto,

$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(10-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$

Así,

$$\left| V\right|=20.6155$$

De esta manera,

$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.4851$,

$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.7276$,

$\cos(\gamma)=\frac{z_{1}-z_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\gamma) = 0.4851$

y se cumple que,

$$(0.4851)^{2}+(0.7276)^{2}+(0.4851)^{2}=1$$

Trazar la recta  que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación : 

$$x=10+0.4851*t$$

$$y=15+0.7276*t$$

$$z=10+0.4851*t$$

$$w=0$$

La figura Nº 05 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW) y la de su proyección en subespacio E3D (XYZ). Ambas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ pertenece a la recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$) y el punto $P_{5} = (10, 15, 10, 0)$ pertenece a la recta $l_{5}$ ($l_{xyz}$) y ambas rectas pasan por el origen de coordenadas.

Figura Nº 05. Proyección de la recta E4D en el subespacio XYZ

Ejemplo 03. Trace las proyecciones bidimensionales del lugar geométrico asociado al ejemplo 01. .

Solución: El sistema coordenado E4D mapeado con los ejes: X, Y, Z y W está formado por seis (6) subespacios E2D, estos son: XY, XZ, XW, YZ, YW y ZW. En este ejemplo vamos a mostrar sólo la proyección en el subespacio XY el resto de las proyecciones la dejamos como ejercicios para nuestros queridos lectores. 

3.1 Subespacio: XY 

Proyectar la recta E4D asociada a las ecuaciones del ejemplo 01 en el subespacio XY, significa trazar la variedad asociada con el ejemplo N 03 en el susbespacio XY.

Para trazar la proyección ortogonal de la recta E4D en el espacio XY es  necesario al igual que los otros casos, deducir sus ecuaciones. Se necesitan por lo menos dos puntos por donde pasa dicha recta para realizar su trazado. Con la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XYZ encontramos uno de los puntos y basta con hacer a: $z=0$ y  $w=0$. Así, si $P_{6}$ es la proyección de $P_{1}$ en el subespacio XY, entonces: $P_{6} = (10, 15, 0, 0)$. Ahora si, $z=0$ y$w=0$ de las ecuaciones originales de la recta E4D, se deduce que: 

$$t=\frac{(0-25)}{0.8111}$$

Por lo tanto, $t=-32.4037$

$$x=10-32.4037*0.3086$$

$$x=0$$

$$y=15-32.4037*0.4867$$

$$y=0$$

$$z=0$$

$$w=0$$

Significa que esta recta en proyección también pasa por el origen de coordenadas.. Trabajar en el subespacio 3D  XY es equivalente a trabajar en E4D XYZW con $z=0$ y $w=0$. Por lo tanto, también se debe cumplir la identidad fundamental. De forma que:

$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)+\cos^{2}(\theta)=1$

 En el subespacio XY (2D), es equivalente a decir que:

$$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)=1$$

Por lo tanto,

$$\left| V\right|=\sqrt{(10-0)^{2}+(15-0)^{2}+(0-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$

Así,

$$\left| V\right|=32.4037$$

De esta manera,

$\cos(\alpha)=\frac{x_{1}-x_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\alpha) = 0.5547$,

$\cos(\beta)=\frac{y_{1}-y_{0}}{\left| V\right|}$ $\longrightarrow $ $\cos(\beta) = 0.8321$,

y se cumple que,

$$(0.5547)^{2}+(0.8321)^{2}=1$$

Trazar la recta  que se corresponde con la recta cuyas ecuaciones se describen a continuación : 

$$x=10+0.5547*t$$

$$y=15+0.8321*t$$

$$z=0$$

$$w=0$$

La figura Nº 06 muestra de forma simultánea el trazado de la recta en el espacio E4D (XYZW),y la de su proyección en subespacio E3D (XYZ) y su proyección en E2D (XY). Todas variedades geométricas fueron elaboradas con ayuda del software "Graficador E4D". El punto $P_{1} = (10, 15, 10, 25)$ está contenido en la  recta $l_{1}$ ($l_{xyzw}$),  la recta $l_{5}$ ($l_{xyz}$) pasa por el punto $P_{5} = (10, 15, 10, 0)$ y la recta $l_{xy}$) pasa por el punto $P_{6}=(10,15,0,0)$. Las tres rectas rectas pasan por el origen de coordenadas.

Figura Nº 06. Proyección de la recta E4D en los subespacios XYZ y XY

Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E4D consulte:

  

https://gratis840.wordpress.com

Observaciones Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de $R^{4}$ con ayuda del software “graficadorE4D”. Con este artículo se resuelve parcialmente el problema que limta el desarrollo la geometría multidimensional: Visualizar variedadesentes geométricas de la cuarta dimensión (Ver lo invisible, diría Géminis IA). El sistema MaDMaI es un sistema propio (detalla en la 2da. edición del libro Geometría E4D). Es un método ideado para organizar los ejes en un sistema de ejes coordenados E4D.  La Geometría E4D es una extesión de la Geometría de baja dimensión a dimensiones superiores: Objetivo principal: Trazar, visualizar y analizar estructuras geométricas desde la más simple hasta la más abstracta y compleja. 

Biblografía 

1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana. 

2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press. 

3. Martínez C. (2016). "Geometría E4D: Geometría del espacio euclidiano cuatridimensional vista desde la óptica bidimensional", 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8

Rectas del espacio E4D y sus proyecciones en espacios de baja dimensión

Trazado de rectas en el espacio E4D y de sus proyecciones en E3D y E2D conocidos dos de sus puntos característicos

© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Sabado 28/02/2026

cmmm7031@gmail.com

Objetivos

Objetivo General

El objetivo principal de este blog consiste en trazar rectas en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (E4D) a partir de dos puntos característicos cualesquiera conocidos que definen su ecuación. Luego, con la información contenida en los dos puntos característicos y en su ecuación, proceder a trazar sus proyecciones ortogonales sobre los subespacios tridimensionales (E3D) y bidimensionales (E2D).

Definición de puntos característicos

Definimos como puntos característicos de una recta en el espacio E4D aquellos puntos notables de la recta que son importantes para su traza y para la traza de sus proyecciones, debido a la información que disponen. Los puntos característicos de una recta pueden estar contenidos o no estar contenidos en ella. Los  que pertenecen  permiten determinar de manera única su posición y su dirección en el espacio cuatridimensional y los que no, permiten trazar sus proyecciones. a espacios de menor dimensión. El concepto es extendible a cualquier número de dimensiones. Los puntos característicos de una recta incluyen puntos de intersección de la recta y sus proyecciones, puntos de trazas, puntos de intersecciones con ejes y/o con los planos coordenados e hiperplanos del espacio en consideración. Los puntos en proyecciones preservan propiedades geométricas esenciales de la recta principal y son útiles para la traza de sus proyecciones en los espacios de menor dimensión. Análogamente a las “trazas” en la Geometría Descriptiva clásica en E3D (intersecciones con los planos coordenados), en E4D estos puntos suelen elegirse como los lugares donde la recta intersecta dos hiperplanos coordenados principales distintos (dígase, por ejemplo: el hiperplano, $w = 0$ y/o el hiperplano, $y = 0$, o cualquier par de puntos convenientes). Esta elección facilita enormemente el cálculo de las ecuaciones paramétricas y la obtención directa de todas las proyecciones ortogonales sucesivas.

Objetivo específicos

• Determinar las ecuaciones de la recta E4D que pasa por los dos puntos característicos dados.
• Trazar la recta E4D, destacando el rol principal de los puntos característicos  en la ecuación de la recta y en el trazado geométrico..
• Identificar las proyecciones ortogonales de los dos puntos característicos dados sobre los subespacios E3D y E2D.
• Determinar las ecuaciones de las rectas en proyección de los subespacio E3D y E2D
• Ilustrar la traza  conjunta de la recta E4D y las rectas proyectadas en lo subespacios E3D y E2D.

Metodología

Nuetro objetivo "macro final" es dar a conocer una técnica que permite el trazado de variedades simples y complejas en el espacio E4D. El presente blog corresponde a una serie  de artículos publicados con la finalidad de ilustrar la traza de una de las variedades geométricas más simples en el complejo mundo del trazado de variedades de la cuarta dimensión: La línea recta en 4D. Se busca extender el conocimiento desarrollado de una metodología sistemática diseñada para trazar rectas E4D. Este blog es sólo un ápice de una enciclopedia completa ya desarrollada y probada desde 2014 (no es especulación) sobre el tópico, véase [3]. La metodología que utilizaré en este blog es sencilla y pedagógica, reproducible, fácil de comprender y  útil para el trazado y visualización de variedades de la 4D. Primero, aplicaremos la metodología en un ejemplo clásico 3D (para que el lector reconozca y tenga presente el procedimiento) y luego extenderé los conceptos al espacio de interés (4D). Para desarrollar el ejercicio haré uso de dos herramientas complementarias de apoyo: el software "Graficador  E4D" (software desarrollado por el autor) y el programa "Desmos 3D" en su versión gratuita (para mostrar la aplicación de la metodología en el ejemplo ilustrativo 3D).

Ejemplos

Ejemplo ilustrativo 01. Determine la ecuación de la recta 3D que pasa por los puntos: $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$, trace la recta  y  sus proyecciones sobre los planos coordenados.

Solución: Como ya se mencionó, primero aplicaremos la metodología en este ejemplo ilustrativo en 3D y luego extenderemos los conceptos al espacio de interés (4D). 

Vector director: $ \vec{D}=P_{2}-P_{1}$, así,

$$P(x,y,z)=P_{2}+t*\vec{D}$$

La ecuación de la recta, 

$$P(x, y,z)=P_{2}(10, 15, 15)+t*\vec{D}(2.5, 10, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=15+5*t$$

Trazado de la recta L.

 Figura Nº 01. Trazado de la recta L en el espacio E3D.

La figura Nº 01 muestra el trazado de la recta L en el espacio E3D (XYZ) utilizando el programa "Graficador E4D". En la figura se señalan los dos puntos característicos dados y la traza de L. Ahora, procedemos a proyectar los dos puntos dados en los tres planos coordenados, dígase: $XY$, $XZ$ y $YZ$. La figura Nº 02 muestra las proyecciones de los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ sobre los planos coordenados. Observe, que las proyecciones de los puntos fueron resaltadas en colores: rojos, azul marino y cyan (azul celeste). Rojo para las proyecciones sobre el plano $XZ$, azul marino para las proyecciones sobre el plano $XY$ y azul celeste para las proyecciones sobre el plano $YZ$. Por intuición, se puede asegurar que al proyectar la recta L sobre los planos coordenados, las rectas proyectadas pasarán por cada par de puntos generados por las proyecciones ortogonales de los puntos originales conocidos (proyecciones sobre los planos coordenados). Por lo tanto, la información que contiene cada punto característico es vital en el momento de la proyecta la recta  en las dimensiones inferiores. Esto aplica para cualquier variedad y en cualquier dimensión y no es limitante sólo para proyecciones de rectas en dimensiones inferiores. En 3D, la información que contiene los paralelepípedos que se forman en la traza de puntos es fundamental para las proyecciones en 2D.

Figura Nº 02. Proyecciones de los puntos característicos sobre los planos coordenados.

Para demostrar lo mencionado en el párrafo anterior, procedemos a resolver el problema analíticamente y gráficamente, 

Para el subespacio $XY$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $XY$. $P_{1xy}=(7.5, 5, 0)$ y $P_{2xy}=(10, 15, 0)$. Puntos identificados con color azul marino en la figura  Nº 02.

Vector director: $ \vec{D_{xy}}=P_{2xy}-P_{1xy}$, así,

$$P_{1}(x, y, 0)=P_{2xy}+t*\vec{D_{xy}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{1}(x, y, 0)=P_{2xy}(10, 15, 0)+t*\vec{D_{xy}}(2.5, 10, 0)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=0$$

Para el subespacio $XZ$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $XZ$. $P_{1xz}=(7.5, 0, 10)$ y $P_{2xz}=(10, 0, 15)$. Puntos identificados con color rojo en la figura  Nº 02.

Vector director: $ \vec{D_{xz}}=P_{2xz}-P_{1xz}$, así,

$$P_{2}(x, 0, z)=P_{2xz}+t*\vec{D_{xz}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{2}(x, 0, z)=P_{2xz}(10, 0, 15)+t*\vec{D_{xz}}(2.5, 0, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=0$$

$$z=15+5 *t$$

Para el subespacio $YZ$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15)$ sobre el plano $yz$. $P_{1xz}=(0, 5, 10)$ y $P_{2yz}=(0, 15, 15)$. Puntos identificados con color azul celeste en la figura  Nº 02.

Vector director: $ \vec{D_{yz}}=P_{2yz}-P_{1yz}$, así,

$$P_{3}(0, y, z)=P_{2xz}+t*\vec{D_{xz}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{3}(0, y, z)=P_{2yz}(0, 15, 15)+t*\vec{D_{yz}}(0, 10, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=0$$

$$y=15+10 *t$$

$$z=15+5 *t$$

Ahora, procedemos al trazado de la recta L y de sus proyecciones ortogonales sobre los planos coordenados, véase figura Nº 03.

Figura Nº 03. Trazado de la recta L y de sus proyecciones en los planos coordenadosel espacio E3D.

El trazado de las rectas del ejercicio también la mostramos desarrollado en una versión gratuita del programa "Desmos 3D", véase  figura N° 04. Les dejo el enlace para que revisen el trazado y analicen el caso:  https://www.desmos.com/3d/d8504wyeul?lang=fr  

Figura Nº 04. Trazado de la recta L y de sus proyecciones en los planos coordenadosel espacio E3D.

Ejemplo ilustrativo 02. Determine la ecuación de la recta 4D que pasa por los puntos: $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$, trace la recta  y  sus proyecciones sobre los subespacios E3D y E2D.

Solución:  La metodología aplicada en este ejemplo ilustrativo en 4D es similar a la aplicada en el ejemplo N° 01 en 3D. Primero, trazamos los dos puntos característicos conocidos de la recta 4D en el espacio E4D; véase figura N° 05, determinamos las ecuaciones paramétricas que definen a la recta a partir de la información que disponen, luego trazamos su gráfica haciendo uso del software "Graficador E4D". Posteriormente, proyectamos los puntos característicos conocidos sobre los subespacios 3D y 2D, identicamos los puntos proyectados sucesivamente en 3D y en 2D, determinamos sus ecuaciones  y trazamos sus gráficas. La información que disponen los puntos característicos es vital en todo el proceso.

Figura Nº 05. Trazado de puntos característicos conocidos de la recta en el espacio E3D.

Vector director de la recta 4D: $ \vec{D}=P_{2}-P_{1}$, así,

$$P(x, y, z, w)=P_{2}+t*\vec{D}$$

La ecuación de la recta, 

$$P(x, y, z, w)=P_{2}(10, 15, 15, 20)+t*\vec{D}(2.5, 10, 5, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=15+5*t$$

$$w=20+5*t$$

Trazado de la recta L.

Figura Nº 06. Trazado  de la recta en el espacio E4D.

La figura Nº 07 muestra las proyecciones ortogonales de los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ sobre los  subespacios tridimensionales del sistema  E4D. Observe, que las proyecciones ortogonales de los puntos fueron resaltadas en colores:  azul marino, rojo, violeta y verde manzana. Azul marino para las proyecciones en el subespacio $XYZ$, rojo para las proyecciones en el subespacio $XZW$, violeta para las proyecciones en el subespacio $XYW$, y verde manzana para las proyecciones sobre el subespacio $YZW$. Por intuición, se puede asegurar que al proyectar la recta L sobre éstos subespacios 3D, las rectas proyectadas pasarán por cada par de puntos generados por las proyecciones ortogonales de los puntos originales conocidos (proyecciones 3D). Por lo tanto, la información que contiene cada punto característico es vital en el momento de proyectar  rectas  en las dimensiones inferiores. Esto aplica para cualquier variedad y en cualquier dimensión. Repetimos,  no es limitante sólo para proyecciones de rectas en dimensiones inferiores. En 4D, la información que contiene los teseractos que se forman en la traza de puntos 4D es crucial para las proyecciones en baja dimensión.

Figura Nº 07. Proyecciones de los dos puntos característicos sobre subespacios 3D.

Ahora, procedemos a resolver a proyectar y resolver el problema analíticamente y gráficamente, 

Para el subespacio $XYZ$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el subespacio $XYZ$. $P_{1xyz}=(7.5, 5, 10, 0)$ y $P_{2xyz}=(10, 15, 15, 0)$. Puntos identificados con color azul marino en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{xyz}}=P_{2xyz}-P_{1xyz}$, así,

$$P_{1}(x, y, z, 0)=P_{2xyz}+t*\vec{D_{xyz}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{1}(x, y, z, 0)=P_{2xyz}(10, 15, 15, 0)+t*\vec{D_{xyz}}(2.5, 10, 5, 0)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10*t$$

$$z=15+5*t$$

$$w=0$$

Para el subespacio $XYW$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el subespacio $XYW$. $P_{1xyw}=(7.5, 5, 0, 15)$ y $P_{2xyw}=(10, 15, 0, 20)$. Puntos identificados con color violeta en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{xyw}}=P_{2xyw}-P_{1xyw}$, así,

$$P_{2}(x, y, 0, w)=P_{2xyw}+t*\vec{D_{xyw}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{2}(x, y, 0, w)=P_{2xyw}(10, 15, 0, 20)+t*\vec{D_{xyw}}(2.5, 10, 0, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=15+10 *t$$

$$z=0$$

$$w=20+5 *t$$

Para el subespacio $XZW$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el plano $XZW$. $P_{1xzw}=(7.5, 0, 10, 15)$ y $P_{2xzw}=(10, 0, 15, 20)$. Puntos identificados con color rojo en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{xzw}}=P_{2xzw}-P_{1xzw}$, así,

$$P_{2}(x, 0, z, w)=P_{2xzw}+t*\vec{D_{xzw}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{2}(x, 0, z, w)=P_{2xzw}(10, 0, 15, 20)+t*\vec{D_{xzw}}(2.5, 0, 5, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=10+2.5 *t$$

$$y=0$$

$$z=15+5 *t$$

$$w=20+5 *t$$

Para el subespacio $YZW$ 

Proyectamos ortogonalmente los puntos $P_{1}=(7.5, 5, 10, 15)$ y .$P_{2}=(10, 15, 15, 20)$ sobre el subespacio $yzw$. $P_{1yzw}=(0, 5, 10, 15)$ y $P_{2yzw}=(0, 15, 15, 20)$. Puntos identificados con color verde manzana en la figura  Nº 07.

Vector director: $ \vec{D_{yzw}}=P_{2yz}-P_{1yzw}$, así,

$$P_{3}(0, y, z, w)=P_{2yzw}+t*\vec{D_{yzw}}$$

La ecuación de la recta, 

$$P_{3}(0, y, z, w)=P_{2yzw}(0, 15, 15, 20)+t*\vec{D_{yzw}}(0, 10, 5, 5)$$

Ecuaciones paramétricas de la recta,

$$x=0$$

$$y=15+10 *t$$

$$z=15+5 *t$$

$$w=20+5 *t$$

Ahora, procedemos al trazado de la recta L y de sus proyecciones ortogonales sobre los espacio 3D de E4D véase figura Nº 08

Figura Nº 08. Trazado  de la recta E4D  y sus proyecciones en los subespacios E3D.

El siguiente paso consiste en proyectar la recta  L en los subespacios bidimensionales. Una tarea similar a la ya ejecutada en el ejemplo ilustrativo N° 01. Por lo tanto, la dejamos como ejercicio para nuestros apreciados lectores.  

Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E4D consulte: 

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Observaciones

• Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “Graficador E4D”.
• El sistema de distribución de los ejes utilizado en este blog es MaDMaI, que es un sistema de organización  propio de la 4D (detallado en la 2da versión del libro Geometría E4D). Es un método propio para organizar y distribuir los ejes en un sistema de ejes coordenados E4D.
• Para optimizar la redacción del blog se tomó algunas sugerencias de Grok IA
• Para el autor, la retroalimentación y críticas constructivas son bienvenidas y apreciadas. 

Coclusiones

Al finalizar este artículo hemos cumplido plenamente el objetivo general planteado: identificar dos puntos característicos que definen la traza de una recta en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (E4D) y realizar su trazado, junto con todas sus proyecciones ortogonales sucesivas sobre los subespacios E3D y E2D. Mediante el ejemplo desarrollado con los puntos P₁(10, 15, 10, 20) y P₂(7.5, 5, 10, 15, hemos demostrado de forma práctica y reproducible cómo este método extiende de manera natural y elegante las herramientas clásicas de la Geometría Descriptiva al ámbito cuatridimensional. La analogía con las trazas en E3D resulta inmediata y poderosa: lo que antes se hacía con regla y escuadra en tres dimensiones, ahora se logra con la misma precisión en cuatro. El empleo combinado del Graficador E4D (software desarrollado por el autor) y Desmos 3D permite al lector visualizar en tiempo real la perfecta coherencia entre las ecuaciones paramétricas y las representaciones gráficas, haciendo accesible un tema que tradicionalmente ha sido considerado abstracto y de difícil comprensión.Esta técnica no es especulación. Forma parte de una enciclopedia completa y sistemática desarrollada desde 2014, publicada en el libro Geometría E4D (2016) y que continúa creciendo con esta serie de artículos.  Con este primer paso queremos abrir la puerta a un público internacional que desea comprender y visualizar la cuarta dimensión de manera rigurosa y reproducible. Invitamos al lector a continuar con las próximas entregas, donde abordaremos otras variedades más complejas en E4D. La cuarta dimensión ya dejó de ser una abstracción matemática: ahora puede dibujarse, entenderse y explorarse paso a paso.  ¡Gracias por acompañarnos en este viaje hacia la visualización geométrica de alto dimensión!

Biblografía

1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
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