Geometría E4D

Astroide 2D, 3D y 4D en el espacio 4D

Astroide 2D

Un astroide 2D es el lugar geométrico que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide. Un astroide 2D es una curva con cuatro vértices. Los astroides en 2D, digamos en un sistema de coordenadas (x, y) tienen la siguiente estructura algebraica:

La ecuación paramétrica de un astroide, para a = r, es:

Un astroide se forma cuando una circunferencia generatriz de radio r, rueda sin resbalar dentro de otra de radio mayor, digamos R, con r < R, (ver gráficas de figura 01).

Figura Nº 01. Formación de un Astroide en el espacio 2D.

Astroide 2D en 4D

Un astroide en 2D en el espacio 4D, digamos en un sistema de coordenadas (x, y, z, w) tiene una de las siguientes estructuras algebraicas:

La ecuación paramétrica de un astroide 2D en 4D, para a = r, tendrá un conjunto de los siguientes sistemas de ecuaciones:

Ejemplo 01. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas.

A continuación, la figura 02 muestra los lugares geométricos asociados al ejemplo 01.

Figura Nº 02. Figuras geométricas tipos Astroides 2D en el espacio4D, asociadas al ejemplo 01.

Astroide 3D

Un astroide 3D es el lugar geométrico que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide en el espacio 3D. Un Astroide 2D es una superficie con seis vértices. Los astroides en 3D, digamos en un sistema de coordenadas (x, y, z) tienen la siguiente estructura algebraica:

Una de las ecuaciones paramétricas de un astroide, para a = r, es:

Un astroide 3D se forma cuando una esfera generatriz de radio r, rueda sin resbalar dentro de otra de radio mayor, digamos R, con: r < R. (ver gráficas de figura 03).

Figura Nº 03. Formación de un Astroide en el espacio 3D.

Un astroide en 3D en el espacio 4D, digamos en un sistema de coordenadas (x, y, z, w) tiene una de las siguientes estructuras algebraicas:

La ecuación paramétrica de un astroide 2D en 4D, para a = r, tendrá un conjunto de los siguientes sistemas de ecuaciones:

Ejemplo 02. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas.

A continuación, la figura 02 muestra algunos lugares geométricos asociados al ejemplo 02.

Figura Nº 04. Figuras geométricas de Astroides 3D en el espacio 4D, asociadas al ejemplo 02.

Astroide 4D

Un astroide 4D es el lugar geométrico propio de la cuarta dimensión que puede considerar como un tipo particular de hipocicloide en el espacio 4D. Un Astroide 4D es un sólido con ocho vértices. Los astroides en 4D, digamos en un sistema de coordenadas (x, y, z, w) tiene la siguiente estructura algebraica:

Una de las ecuaciones paramétricas para un astroide 4D, con a = r, es:

Un astroide 4D se forma cuando una tesesfera (hiperesfera 4D) generatriz de radio r, rueda sin resbalar dentro de otra de radio mayor, digamos R, con: r < R.

Ejemplo 03. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas.

A continuación, la figura 03 muestra algunos lugares geométricos asociados al ejemplo 03.

Figura Nº 05. Figuras geométricas tipos Astroides 4D, asociadas al ejemplo 03

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “graficadorE4D”.

“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"

Biblografía

Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Geometría E4D: Geometría del espacio euclidiano cuatridimensional vista desde la óptica bidimensional. (Spanish Edition) von [M., Carlos Martinez]

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016 Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720

Autor

Dr. Carlos M. Martínez M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

Universidad de Carabobo

Escuela de Ingeniería Industrial

Para consultas y otras cosas de interés común (Simposio, seminarios, congresos, entre otros) favor escribir al siguiente correo: cmmm7031@gmail.com

Hiperboloide de una Hoja 4D

En este artículo vamos a continuar con las superficies y sólidos 4D tipo hiperboloides. En esta ocasión se van a tratar hiperboloides de una hoja en el espacio de cuatro dimensiones. Estas figuras geométricas pertenecen a la familia de las cuádricas.

Hiperboloides 3D en el espacio 4D

Las superficies tipo hiperboloides 3D en el espacio 4D, están representadas por la siguiente ecuación:

z² = Ax²+ By² + C, con w = 0, ec. (01)

w² = Ax²+ By² + C, con z = 0, ec. (02)

w² = Ax²+ Bz² + C, con y = 0, ec. (03)

w²= Ay²+ Bz² + C, con x = 0, ec. (04)

Un hiperboloide 3D en 4D está definido para todos los coeficientes A y B diferentes de cero con excepción de la Constante C que puede tomar cualquier valor real. Las ecuaciones anteriores se pueden indicar que representan las ecuaciones canónicas u ordinarias de un hiperboloide 3D en el espacio 4D y se clasifican en hiperboloides de una hoja, dos hojas y tipo cono dependiendo del valor de C. Si C es negativo la superficie es un hiperboloide de una hoja, si C es positivo la superficie es un hiperboloide de dos hojas y si C es cero la superficie es un cono. Dependiendo, de los valores de A y B la superficie tendrá secciones transversales circulares o elípticas. Si A y B son iguales y distintos de cero, las secciones transversales de la superficie son circulares, si A y B toman diferentes valores y ambas diferentes de cero, las secciones transversales de la superficie son elípticas.

Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

w² = 8x²+ 8y² - 16, con z = 0, ec. (05)

A continuación la figura 01 muestra lugares geométricos asociados a la ecuación 05.

Figura Nº 01. Hiperboloide de una hoja en el espacio 4D asociado al Ejemplo 01.

Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

z² = 8x²+ 8y² - 16, con z = 0, ec. (06)

A continuación la figura 02 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 06.

Figura Nº 02. Hiperboloide de una hoja en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 02.

Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

w² = 8x²+ 8z² - 16, con y = 0, ec. (07)

A continuación la figura 03 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 07.

Figura Nº 03. Hiperboloide de una hoja en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 03.

Superficies de niveles 3D en 4D

Las funciones con tres variables son figuras geométricas propias de la tercera dimensión (espacio 3D). las ecuaciones analíticas en el espacio 3D de estas figuras geométricas tienen la siguiente estructura:

f(x, y, z) = k, ec. (08)

Si f es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos de R³, la gráfica de f es una superficie de nivel para cada valor de k. Cada superficie de nivel en un espacio 3D es una figura geométrica subcobjunto de una estructura más compleja que es una estructura propia del espacio 4D o lo que nosotros conocemos como un sólido. Para representar las estructuras 3D en un espacio de referencia de cuatro dimensiones es necesario utilizar una de las siguientes ecuaciones:

f(x, y, z, 0) = k, ec. (09)

f(x, y, 0, w) = k, ec. (10)

f(x, 0, z, w) = k, ec. (11)

f(0,x, y, z) = k, ec. (12)

En un espacio de cuatro dimensiones hay cuatro subespacios de tres dimensiones y seis subespacios de dos dimensiones. Observe que, para cada valor de k, en cada una de las ecuaciones 9, 10, 11 y 12 es posible construir una superficie de nivel. El conjunto de todas las superficies de niveles forman la estructura propia de la cuarta dimensión el sólido.

Hiperboloide 4D

Un hiberboloide 4D es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie tridimensional tipo paraboloides. En cuatro dimensiones la ecuación analítica un hiperboloide 4D pertenece a las figuras geométricas tipo sólido que se describe mediante la siguiente expresión:

w² = ax²+bx+ cy² +dy+ ez² +f z+gxy+hxz+iyz+j, ec. (13)

Al igual que los hiperboloides 3D en 4D, las diversas combinaciones de las constantes en la ecuación anterior, produce varios tipos de figuras geométricas. Las más sencillas tienen la siguiente estructura:

w² = ax²+ cy² + ez² + j, ec. (14)

Un hiperboloide 4D esta definido para todos los coeficientes a, c y e diferentes de cero, la constante j que puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales. La ecuación (14) representa la ecuación canónica u ordinaria de un hiperboloide en el espacio 4D. Dependiendo del valor que tome la constante j, el sólido formado se puede clasificar como un hiperboloide 4D de una hoja, dos hojas o tipo cono. Si, j es negativo el sólido formado es un hiperboloide 4D de una hoja (con a, c y e positivos); si j es positivo, con a, c y e positivos, el sólido es un hiperboloide 4D de dos hojas y si j es cero la superficie es un cono 4D. Los valores de a, c y e definen otra característica del sólido. Si las constantes a, c y e son iguales el hiperboloide es esférico; por lo tanto, las secciones transversales de las superficies de niveles que lo conforman son circunferencias. Si uno de los tres valores de a, c y e difiere de los otros dos el hiperboloide es elipsoidal; por lo tanto, las secciones transversales de las superficies de niveles que lo conforman son elipses. En este artículo y para ejemplificar, sólo mostraremos el hiperboloide de dos hojas 4D el esférico y el elipsoidal, el resto de las figuras de este tipo pueden consultarlo en el libro “Geometría E4D” referenciado al final del documento.

Ejemplo 04. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

w² = 8x²+ 8y² + 8z² - 16, ec. (15)

A continuación la figura 04 muestra los lugares geométricos asociados a la ecuación 15 que se corresponde con un hiperboloide 4D esférico de una hoja.

Figura Nº 04. Hiperboloide 4D esférico de una hoja, asociado al Ejemplo 04.

Ejemplo 05. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

w² = 16(x²/4 +y² /2 +z²/4 - 1/4), ec. (16)

A continuación la figura 05 muestra los lugares geométricos asociados a la ecuación 15 que se corresponde con un hiperboloide 4D elipsoidal de una hoja.

Figura Nº 05. Hiperboloide 4D de una hoja con secciones transversales elípticas en 2D y elipsoidales en 3D, asociado al Ejemplo 05.

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “graficadorE4D”.

“Los cuerpos geométricos propios del espacio 4D son sólidos"

Biblografía

[1] Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.

[2] Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Próximamente tendremos disponibilidad de libros en físicos en caratulas blandas.