Parte II
© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Jueves 06/02/2026
cmmm7031@gmail.com
Objetivos
Objetivo General
El objetivo principal de este tratado es identificar y analizar puntos característicos que definen la traza de rectas en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (E4D), así como en sus proyecciones ortogonales sobre los subespacios tridimensionales (E3D) y bidimensionales (E2D). Estos puntos incluyen intersecciones con hiperplanos coordenados, trazas comunes con ejes y proyecciones que preservan propiedades geométricas esenciales, extrapolando conceptos clásicos de geometría analítica en E3D hacia una óptica bidimensional en E4D.
Objetivo específicos
- Definir y calcular puntos característicos en rectas E4D mediante ecuaciones paramétricas, destacando su rol en la caracterización de trazas geométricas.
- Ilustrar proyecciones ortogonales de rectas E4D en subespacios E3D y E2D, utilizando herramientas computacionales como el "Graficador E4D" y Desmos para visualizaciones interactivas.
- Explorar casos particulares y limitaciones, como rectas paralelas a hiperplanos, para una comprensión integral del enfoque propuesto.
Objetivo Secundario: Potencialidad Aplicativa
Como objetivo complementario, se busca resaltar la potencialidad de este trabajo en diversos campos científicos donde la modelación y visualización de fenómenos involucran una dimensión extra más allá de las tres espaciales conocidas, presentando desafíos inherentes a la intuición humana. Por ejemplo, en física cuántica, estos puntos característicos y proyecciones podrían aplicarse en la simulación del efecto Hall cuántico en cuatro dimensiones (4D QHE), donde dimensiones sintéticas revelan propiedades topológicas en materiales exóticos, o en la interpretación geométrica del entrelazamiento cuántico, modelando conexiones "instantáneas" entre partículas como trazas proyectadas de entidades unidas en E4D. Estas menciones ilustran cómo el enfoque geométrico propuesto podría contribuir a avances en computación cuántica y materiales topológicos.
1. Introducción a la Parte II: Geometría E4D y Puntos Característicos
Este blog post, titulado "Geometría E4D: Puntos característicos en rectas E4D y en sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D – Parte I y Parte II", adopta un enfoque analítico y geométrico para identificar puntos característicos en la traza de rectas. En la Parte I, se establecieron las bases en el espacio euclidiano tridimensional (E3D), analizando intersecciones, proyecciones y trazas en subespacios inferiores como preparación para la extrapolación a cuatro dimensiones (E4D).
El presente artículo corresponde a la Parte II, que extiende los conceptos introducidos previamente. El objetivo central es definir y localizar puntos característicos que caracterizan la traza de rectas en E4D y sus proyecciones ortogonales en subespacios E3D y E2D. Estos incluyen puntos de intersección entre rectas, puntos de trazas, intersecciones con ejes y hiperplanos coordenados, así como proyecciones que preservan propiedades geométricas esenciales. Esta aproximación no solo generaliza teorías clásicas de geometría analítica en E3D (inspiradas en tratados como los de Lehmann & Sors, 1953, y Leithold, 1998), sino que también posiciona estos puntos como un aporte conceptual innovador en el marco de la geometría E4D, alineado con mi obra Geometría E4D: Una óptica bidimensional (Martínez, 2016).
Para su desarrollo, me apoyo en herramientas gráficas computacionales como el "Graficador E4D" (un software personalizado para visualizaciones multidimensionales) y Desmos (una herramienta gratuita y accesible en la web, ideal para trazas en 2D y 3D). Estas permiten ilustrar de manera interactiva las proyecciones y puntos clave, facilitando la comprensión de conceptos abstractos.
Además, es oportuno mencionar una potencial aplicación interdisciplinaria en física cuántica. Por ejemplo, los puntos característicos y proyecciones en E4D pueden modelar fenómenos como el efecto Hall cuántico en cuatro dimensiones (4D QHE), donde dimensiones sintéticas (parámetros como fases o momentos) simulan espacios hiperdimensionales, y las proyecciones revelan "bordes" topológicos con propiedades eléctricas únicas, como corrientes sin disipación. De manera similar, la superposición y el entrelazamiento cuántico se interpretan como proyecciones de entidades unidas en E4D a nuestro espacio observable, donde puntos característicos capturan conexiones "instantáneas" sin violar leyes físicas. Estas conexiones enriquecen el enfoque geométrico y muestran cómo la E4D no es solo teórica, sino aplicable en campos como la computación cuántica y materiales topológicos. Los cálculos explícitos y la visualizaciones de variedades E4D, demuestran su potencial aplicabilidad y lo útil que podría ser este trabajo en contextos matemáticos, físicos y en otras disciplinas científicas. Véase los siguientes trabajos: 1. "Efecto Hall cuántico de cuatro dimensiones con átomos ultrafríos" (Four-Dimensional Quantum Hall Effect with Ultracold Atoms) (de H. M. Price y colaboradores 2016) y 2. Tejiendo el espacio-tiempo a partir del entrelazamiento cuántico (Clara Aldegunde-2022).
2. Marco teórico
2.1 Proyección de una Recta en E4D a E3D y E2D
Concepto Básico: Una recta en E4D se define paramétricamente, como en tu Parte I. Al proyectar, la recta se convierte en una recta o línea en el subespacio, revelando puntos característicos como intersecciones.
2.2 Colinealidad
- En 2D, una condición necesaria y sufiente para que tres puntos con diferentes coordenadas sean colineales es que:
- En 3D, una condición necesaria y sufiente para que cuatro puntos con diferentes coordenadas sean colineales es que:
- En 4D, una condición necesaria y sufiente para que tcincos puntos con diferentes coordenadas sean colineales es que:
3. Traza de puntos característicos en rectas del espacio E4D y en sus proyecciones sobre los subespacios coordenados E3D y E2D
A continuación, vamos a desarrollar un ejemplo donde se muestran el calculo de puntos característicos en la traza de rectas E4D y en la traza de sus proyecciones ortogonales en los subespacios coordenados E3D y en planos coordenados (2D).
Ejemplo 01. Trace la recta que pasa por el punto P=(10, 15, 15, 20) y cuyas componentes del vector director, son:
$$\vec{v}= \left\{\cos(\frac{\pi}{3}), 2, 1, 3\right\}$$
Solución: A continuación, en la tabla N.° 1, se muestran los cálculos de las coordenadas: $x$, $y$ y $z$ dado el valor $t$. Las ecuaciones paramétricas se obtienen a partir de los datos suministrados y la definición y parametrización de rectas en $\mathbb{R}^{3}$:
$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=15+2*t$$
$$z=15+t$$
$$w=20+3*t$$
El calculo de las coordenadas de cada punto que petenece al lugar geométrico asociado a las ecuaciones se pueden visualizar en la tabla N.° 1. Los valores de $t$ son arbitrarios, se decidió escoger una escala de "t" desde -50 a 50 con una interescala de 5 en 5, un capricho.
Tabla N.° 1. Calculo de las coordenadas: $x$, $y$, $z$ y $w$, dado el valor $t$
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ||||
| Valor de t | x | y | z | w |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ||||
| -50 | -15 | -85 | -35 | -130 |
| -45 | -12.5 | -75 | -30 | -115 |
| -40 | -10 | -65 | -25 | -100 |
| -35 | -7.5 | -55 | -20 | -85 |
| -30 | -5 | -45 | -15 | -70 |
| -25 | -2.5 | -35 | -10 | -55 |
| -20 | 0 | -25 | -5 | -40 |
| -15 | 2,5 | -15 | 0 | -25 |
| -10 | 5 | -5 | 5 | -10 |
| -5 | 7.5 | 5 | 10 | 5 |
| 0 | 10 | 15 | 15 | 20 |
| 5 | 12.5 | 25 | 20 | 35 |
| 10 | 15 | 35 | 25 | 50 |
| 15 | 17.5 | 45 | 30 | 65 |
| 20 | 20 | 55 | 35 | 80 |
| 25 | 22.5 | 65 | 40 | 95 |
| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ||||
Ahora, trazamos los puntos y la recta en el sistema de coordenadas cartesianas E4D, véase figura N.° 1. Se observan puntos colineales en el espacio E4D que indican la dirección que toma la recta $l_{xyzw}$ (variedad E4D trazada en color gris oscuro y puntos de la traza el color rojo). La figura también muestra un punto característico de la recta en color negro que es un punto E4D particular de la recta cuando el parametro $t=0$.
Si se sustituye el valor de $t=0$ en las ecuaciones dadas, se tiene que $x=10$, $y=15$, $z=15$ y $w=20$, lo que significa que la recta $l_{xyzw}$ pasa por el punto $P_{1}=(10, 15, 15, 20)$, véase traza del teseracto en el punto $P_{1}$. Todos los puntos calculados definen la dirección que toma la recta en el espacio E4D. Ahora, nos interesa proyectar ortogonalmente a la recta E4D en los cuatro subespacios tridimensionales de E4D, dígase: $XYZ$, $XYW$, $XZW$ y $YZW$.
- 3.1 Subespacio: $XYZ$
$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=15+2*t$$
$$z=15+t$$
$$w=0$$
Un punto notable de la recta $l_{xyz}$ es su intersección con el plano $XZ$, este punto es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Para calcularlo, hacemos: $y=0$. Con $y=0$ y con las ecuaciones de la recta E3D, se obtiene que: De la segunda ecuación tenemos que,
$t=-\frac{15}{2}$
Conocido, $t = -7.50$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado, véase figura N.° 2:
$$x=6.25$$
$$y=0$$
$$z=7.50$$
$$w=0$$
La figura N.° 2 muestra el punto $P_{a}=(6.25, 0, 7.5)$ (marcado en color azul marino) que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$, este es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Como ya se concen dos puntos por donde pasa la recta $l_{xyz}$ podemos trazarla sin ningún problema. Otra forma de hacer esta tarea es utilizando sus ecuaciones parametrizadas. Damos valores arbitrarios a $t$, calculamos las coordenadas $(x, y, z, w=0)$ para cada valor de $t$, ubicamos los puntos en el espacio E4D y trazamos la recta, véase recta $l_{xyz}$ en el espacio E4D (recta de color verde manzana)
Figura N.° 2. Trazado de las rectas E4D y E3D
La figura N.° 2 muestra el punto $P_{a}=(6.25, 0, 7.5)$ (marcado en color azul marino) que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$, este es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Como ya se concen dos puntos por donde pasa la recta $l_{xyz}$ podemos trazarla sin ningún problema. Otra forma de hacer esta tarea es utilizando sus ecuaciones parametrizadas. Damos valores arbitrarios a $t$, calculamos las coordenadas $(x, y, z, w=0)$ para cada valor de $t$, ubicamos los puntos en el espacio E4D y trazamos la recta, véase recta $l_{xyz}$ en el espacio E4D (recta de color verde manzana). Los tres planos de proyección de la recta $l_{xyz}$ son: $XY$, $XZ$ y $YZ$.
- 3.1.1 Plano $XY$
Ahora, para trazar la proyección de la recta $l_{xyz}$ sobre el plano $XY$ se necesitan: al menos dos puntos característicos que pertenezcan a dicha proyección (recta $l_{xy}$) o en su defecto las ecuaciones que la definen. Vamos a proceder con ambos métodos (nota: debemos aclarar que no son los únicos métodos). Si se proyecta ortogonalmente el punto $P_{2}=(10, 15, 15, 0)$ sobre el plano $XY$ se obtiene el primer punto $P=(10, 15, 0, 0)$ que se necesita para trazar la proyección de la recta $l_{xyz}$ sobre el plano $XY$. El segundo punto que buscamos para trazar la recta $l_{xy}$ es la proyección ortogonal del punto $P_{a}=(6.25, 0, 7.5, 0)$ que pertenece a la recta $l_{xyz}$ sobre el plano $XY$. $P_{x}=(6.25,0,0)$, de modo que la recta proyectada en el plano queda definida como:
$$x=10+t*(10-6.25)$$
$$y=15+t*(15-0)$$
$$z=0+t*(0-0)$$
$$w=0$$
De esta manera la recta $l_{xy}$ queda definida, como:
$$x=10+3.75*t$$
$$y=15+15*t$$
$$z=0$$
$$w=0$$
La figura N.° 3 muestra la existencia de otro punto característico de la recta $l_{xyz} que consiste en su intersección con la recta $l_{xy}$ o con el plano $XY$, es decir, cuando $z=0$. Ahra, procedemos a calcular ese punto. En la ecuaciones de la recta $l_{xyz}$, hágase $z=0$, así:
$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=15+2*t$$
$$0=15+t$$
$$w=0$$
De la tercera ecuación tenemos que,
$t=-15$
Conocido, $t = --15$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado, véase figura N.° 4:
$$x=2.5$$
$$y=-15$$
$$z=0$$
$$w=0$$
Figura N.° 4. Traza de puntos característicos, rectas: $l_{xyz}$ y $l_{xy}$
La figura N.° 4 muestra la existencia de tres puntos característicos de la recta $l_{xy}$, $P_{2}=(10, 15, 0, 0)$, $P_{a}=(6.25, 0, 0, 0)$ y $P_{s}=(2.5, -15, 0, 0)$ colineales entre sí. Esta propiedad se puede desmostrar a través del teorema de colinealidad de puntos en E2D. Para desmotrar la propiedad de colinealidad, se debe demostrar que:
Calculando la determinante, tenemos que:
$$\left( 10 \right)\left( 0 \right)\left( 1 \right)+\left( 2.5 \right)\left( 15 \right)\left( 1 \right)+\left( 6.25 \right)\left( -15 \right)\left( 1 \right)-\left( 1 \right)\left( 0 \right)\left( 2.5 \right)-\left( 6.25\right)\left( 15 \right)\left( 1 \right)-\left( 10 \right)\left(-15 \right)\left( 1 \right)=0$$
Efectivamente,
$$0+37.5-93.75-0-93.75+150=0$$
Así,
$$0=0. \ L.q.d.$$
Lo que demuestra que los tres puntos son colineales. Esta propiedad es extendible y aplicable a colinealidad en los espacios E3D y E4D. Sólo que en E3D se necesitan cuatro puntos colineales y en E4D cinco puntos colineales. Dejamos de ejercicio la aplicación del teorema en E3D y en E4D a nuestros queridos lectores.
- 3.1.2 Plano $XZ$
Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{2}=(10, 15, 15, 0)$ sobre el plano $XZ$, se obtiene el punto $P_{r}=(10, 0, 15, 0)$, Este punto está ubicado en el plano $XZ$, y corresponde a uno de los puntos característicos por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $XZ$. Analíticamente, basta con hacer $y=0$. Por ello, $P_{a}=(10, 0, 15, 0)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $XZ$ se necesita otro punto que pertenezca a la recta en proyección, punto que ya conocemos; este es el punto $P_{2}$. La figura N.° 5 muestra el punto $P_{2}=(6.25, 0, 7.5, 0)$ (marcado en color azul marino), que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $XZ$ y que también corresponte al punto de intersección entre las rectas: $l_{xyz}$ y $l_{xz}. Ahora, como ya conocemos dos puntos, $P_{r}$ y $P_{a}$, por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $XZ$, entonces, por la definición en la parametrización de rectas en E2D, se tiene que:
$$x=10+t*(10-6.25)$$
$$y=0$$
$$z=15+t*(15-7.50)$$
$$w=0$$
De esta manera la recta $l_{xz}$ queda definida, como:
$$x=10+3.75*t$$
$$y=0$$
$$z=15+7.50*t$$
$$w=0$$
ecuaciones que son equivalentes a,
$$x=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=0$$
$$0=15+t$$
$$w=0$$
La figura N.° 5 muestra la traza de la recta $l_{xyz}$ (línea verde manzana) y la traza de recta en proyección sobre el plano $XZ$ (línea morada). Una aclaratoria: Se debe mencionar que la recta en proyección $l_{xz}$ (recta en color morado) pertenece al plano $XZ$. Sin embargo, la figura N.° 4 puede dar lugar a una mala interpretación, porque pareciera que la recta $l_{xz}$ pasa por el punto $P_{a}=(10, 15, 0)$ y no es así; es un problema de perspectiva que da lugar a un falso parecer.
- 3.1.3 Plano: $YZ$
El procedimiento es similar a los dos casos anteriores. Al proyectar ortogonalmente al punto $P_{1}=(10, 15, 15, 0)$ sobre el plano $YZ$, se obtiene el punto $P_{s}=(0, 15, 15, 0)$, Este punto está ubicado en el plano $YZ$, y corresponde a uno de los puntos por donde pasa la recta en proyección sobre el plano $YZ$. Analíticamente, basta con hacer $x=0$ y $w=0$. Por ello, $P_{s}=(0, 15, 15, 0)$. Sin embargo, para poder trazar la recta en proyección en el plano $YZ$ se necesita al menos otro punto que pertenezca a la recta en proyección. La forma de hacerlo, es conseguir otro punto característico de la recta E3D y proyectarlo sobre el plano de interés; por ejemplo, el punto de intersección de la recta con el plano $YZ$, este punto es otro punto característico de la recta $l_{xyz}$. Para calcularlo, hacemos: $x=0$. Con, $x=0$ y con las ecuaciones de la recta E3D, se obtiene que:
$$0=10+t*cos(\frac{\pi}{3})$$
$$y=15+2*t$$
$$z=15+t$$
$$w=0$$
De la segunda ecuación, tenemos que,
$t=-\frac{10}{cos(\frac{\pi}{3})}$
Conocido, $t = -20.00$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado. Véase figura N°5:
$$x=0$$
$$y=-25$$
$$z=15+t$$
$$w=0$$
La figura N.° 6 muestra el punto $P_{p}=(0, -25, -5, 0)$, que es el punto de intersección de la recta $l_{xyz}$ con el plano $YZ$. Y como ya se conocen los dos puntos de la recta en proyección sobre el plano $YZ$, entonces, por la definición en la parametrización de rectas en E4D, se tiene que:
$$x=0$$
$$y=15+t*(15+25)$$
$$z=15+t*(15+5)$$
$$w=0$$
De esta manera la recta $l_{yz}$ queda definida, como:
$$x=0$$
$$y=15+40*t$$
$$z=15+20*t$$
$$w=0$$
La figura N.° 6 muestra la traza de la recta $l_{xyzw}$ (línea color gris oscuro), la traza de la recta $l_{xyz}$ (línea verde manzana) y la traza de recta en proyección sobre el plano $YZ$ (línea roja). Observe que la recta en proyección sobre el plano $YZ$ pasa por los puntos: $P_{s}=(0, 15, 15, 0)$ y $P_{p}=(0, -25, -5, 0)$. El punto $P_{p}$ es un punto característico de interés en la traza de la proyección, ya que es el punto de intersección de las rectas$l_{xyz}$ y $l_{yz}$ .
Figura N.° 6. Traza de rectas: $l_{xyzw}$, $l_{xyz}$ y $l_{yz}$
Otros puntos característicos notables de la recta $l_{yz}$ es la intersección con los ejes coordenados:eje $Y$ y eje $Z$, procedemos a calcularlos.
Intersección de la recta. $l_{yz}$ con el eje $Y$
Dada las ecuaciones de la recta $l_{yz}$,
$$x=0$$
$$y=15+40*t$$
$$z=15+20*t$$
$$w=0$$
Para calcular la intersección con el eje $Y$, hacemos $z=0$.
$$x=0$$
$$y=15+40*t$$
$$0=15+20*t$$
$$w=0$$
De la tercera ecuación, tenemos que,
$t=-\frac{3}{4}$
Conocido, $t=-\frac{3}{4}$, y sustituyendo este valor en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado.
$$x=0$$
$$y=-15$$
$$z=0$$
$$w=0$$
Así, $P_{y}=(0, -15, 0, 0)$.
Intersección de la recta. $l_{yz}$ con el eje $Z$
Dada las ecuaciones de la recta $l_{yz}$,
$$x=0$$
$$y=15+40*t$$
$$z=15+20*t$$
$$w=0$$
Para calcular la intersección con el eje $Z$, hacemos $y=0$.
$$x=0$$
$$0=15+40*t$$
$$z=15+20*t$$
$$w=0$$
De la segunda ecuación, tenemos que,
$t=-\frac{3}{8}$
Conocido, $t=-\frac{3}{8}$, se sustituye en las ecuaciones anteriores, se obtiene el punto de intersección deseado.
$$x=0$$
$$y=0$$
$$z=\frac{15}{2}$$
$$w=0$$
Así, $P_{y}=(0, 0, \frac{15}{2}, 0)$. En este último procedimiento calculamos dos puntos característicos en la traza de la recta $l_{yz}$, que representan la intersección de la recta $l_{yz}$ con los ejes coordenados; dígase, eje $Y$ y eje $Z$, véase figura N.° 7.
Figura N.° 7. Traza de puntos característicos en la recta y $l_{yz}$
La figura N.° 7 muestra la traza de puntos característicos de la recta $l_{yz}$.
Ejercicios para el lector: Como ejercicios dejamos las trazas de las rectas en los subespacios: $XYW$, $XZW$ y $YZW$. Hablamos de las rectas: $l_{xyw}$, $l_{xzw}$ y $l_{yzw}$; así como, sus proyecciones en los planos coordenados correspondientes y sus respectivos puntos característicos.
4. Uso del programa Desmos en la traza de rectas E3D.
A continuación, se muestra la figura N.° 8, a la cual le añadimos un link activo que nos conduce a una página del programa "Desmos" diseñada por este servidor. La página muestra la traza de la recta en E3D, sus proyecciones sobre los planos coordenados y puntos característicos de interés en la traza de estas figuras geométricas. En esta figura podemos visualizar el falso parecer mencionado en la traza de la recta en proyección en el plano $XZ$. La recta $l_{xz}$ (trazada en color morado) no pasa por el punto $P=(10,15,0)$. Hasta ahora, Desmos no posee versión oficial E4D disponible en la web; por ello, mostramos el problema en él espacio E3D.
Nota: Para ayuda sobre el trazado de rectas en el espacio E3D, consulte: Rectas en 3D.
Observaciones Las primera siete gráficas gráficas de la parte II de este tratado fueron elaboradas en el espacio de $R^{4}$ usando el software “graficadorE4D” y en la figura N.° 8 se usó el programa "Desmos". Nuestro objetivo principal se centró en: mostrar la traza de puntos característicos en la traza de rectas del espacio E4D y en sus proyecciones en los subespacios E3D y E2D. Los ejemplos potenciales de aplicabilidad del trabajo fueron recomendos por Grok I.A., a quien agradezco por sus recomendaciones.
Fecha última revisión: 06/02/2026
Biblografía
1. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica.Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.
2. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
3. Martínez C. (2016). "Geometría E4D: Geometría del espacio euclidiano cuatridimensional vista desde la óptica bidimensional", 1ra edición, ISBN:978-980-12-8563-2. DOI:10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8
